探索平行四边形性质与判定

    平行四边形的定义是什么？有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。也就是说，当我们看见一个四边形，有两组分别平行的边的四边形，就是平行四边形。那么，如下图，已知四边形ABCD为平行四边形，能得到什么结论？

平行四边形ABCD[图1]

①平行四边形的对应边相等

已知:四边形ABCD为平行四边形

求证:AB＝CD  AD=BC

证明:∵四边形ABCD为平行四边形

      ∴AD∥BC  AB∥CD

      连接AC,BD交于点O如图

做完辅助线的图[图2]

∵AD∥BC    AB∥DC

∴∠CAD=∠ACB  ∠BAC=∠ACD

∴在三角形ABC与三角形ADC中

{  ∠CAD=∠ACB

    AC=CA

    ∠BAC=∠ACD

∴三角形ABC≌三角形ADC（ASA）

∴AB=CD  AD=BC

于是我们就得到了“平行四边形对应边相等”这一性质。同理也可以证出“平行四边形对应角相等”。

②平行四边形的对角线互相平分

已知:如图2四边形为平行四边形

求证:OA=OC OB=OD

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB//CD AD//BC

∴∠ABD=∠CDB ∠ADB=∠CBD

又∵AC=CA

∴三角形ABD≌三角形CDB（ASA）

∴AB=CD

又∵∠ABD =∠CDB ∠AOB=∠COD

∴三角形AOB≌三角形COD（AAS）

∴OA=OC OB=OD

所以，也就得出了“平行四边形的对角线互相平分”这一结论。

那么这些都是性质了，反过来也是可以证明的，比如“对边相等的四边形是平行四边形”用对边以及作图产生的对顶角证个全等即可得出，这就是“平行四边形对边相等”的逆命题，也是平行四边形的判定。

    这些就是关于平行四边形的性质与判定，当然还有更多，比如特殊的平行四边形，都需要我们进一步的探索。