高等数学——微积分中的不定积分

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今天是高等数学专题的第8篇文章，今天的内容是不定积分。

我之前的高数老师曾经说过，高等数学就是大半本的微积分加上一些数列和极限的知识。而微积分当中，积分相关又占据了大半江山。微积分之所以重要并不是因为它的比重大、容量多，而是因为它常用。几乎所有理工科的课本上都有微积分的公式，原因也很简单，当年这些科学家在研究未知事物或者是进行计算的时候，大量使用了微积分作为工具。这也是我们必须学它的原因。

原函数

我一直都觉得微积分这个名字起得很好，微积分是微分和积分的合称。微分是通过宏观研究微观，而积分恰恰相反则是通过微观获取宏观。因此从某种意义上来说，我们可以将积分看成是微分的反面。

微分对应的是极限，在函数当中，我们通过让趋近于0研究函数的变化情况。当趋向于0时，我们获得的函数变化率就是函数的导数，这也是导数公式的由来：

我们从微分的角度来看积分，也就是说我们来逆向思考这个过程。如果说我们获得的导数是，那么求导之前的函数f(x)会是什么呢？在这个问题当中，求导之前的函数称为原函数，我们写成F(x)，如果F(x)是f(x)的原函数，那么它应该满足对于任意的，都有。

比如说因为的导数是2x，所以是2x的原函数。

函数和原函数的关系我们清楚，但是为了严谨，我们还需要思考一个问题，原函数一定存在吗？

这个问题看起来很绕，其实很容易想通，如果函数连续，那么原函数一定存在。高数书上说这个是原函数存在定理，但是连一句话证明也没有，可想而知它基本上已经被当成是公理了。我们来简单分析一下，如函数f(x)连续，也就是说原函数的导数存在并且连续。我们知道连续不一定可导，但可导一定连续。现在导函数存在并且连续了，那么说明原函数一定连续。如果函数不存在怎么连续呢？所以当前函数f(x)连续，说明它的原函数F(x)一定存在。

不定积分

我们搞明白了原函数之后，就可以开始不定积分的内容了。其实不定积分没什么计算内容，我倒觉得更像是映射。将当前函数映射成原函数。

也就是说，我们通过当前函数f(x)去寻找一个原函数F(x)，使得：，我们把这个过程倒过来写，即：

这个式子其实就是求导的逆运算，完全没有技术含量，应该都能看明白。这个时候，我们来问一个问题，对于一个确定的函数f(x)而言，它的原函数是确定的吗？

比如我们刚刚那个例子，那么它的原函数只有吗？

答案是明显的，不是。我们随便就可以举出另一个原函数来：，同样，我们把后面的常数换成其他的值一样是合法的原函数。所以我们可以知道，原函数是无穷的，差别只在于最后跟的常数不同。也就是说原函数因为这个常数的存在是不确定的，这也是不定积分当中”不定“两个字的由来。

简单性质

根据不定积分的定义，我们可以推导出一些简单的性质。我们先来看第一个性质，也是最简单的性质：

这个证明非常简单，我们直接对原式求导即可：

同样简单的还有另一个性质：

证明方法和刚才一样，直接求导即可。

好了，以上就是不定积分的全部性质了。你可能会问为什么性质里面没有乘法和除法的性质？我也曾经好奇过这个问题，因为在我查过得所有资料当中都没有相关的公式。我自己也试着推导过，但是没有什么结果。这当然不是数学家们偷懒或者是算不出来，估计可能是太过复杂，所以不太实用吧。

基本积分表

最后，我们来看一下不定积分的基本积分表，方便我们计算的时候查询。

\[\begin{aligned} \int kdx &= kx+C \\ \int x^{\mu}dx &= \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C \\ \int \frac{dx}{x} &= \ln|x| + C \\ \int \frac{dx}{1+x^2} &= \arctan x + C\\ \int \frac{dx}{1-x^2} &= \arcsin x + C\\ \int \cos x dx &= \sin x + C\\ \int \sin x dx &= -\cos x + C\\ \int \frac{dx}{\cos^2x}&=\int \sec^2x dx = \tan x + C \\ \int \frac{dx}{\sin^2 x} &= \int \csc^2 x dx = -\cot x + C\\ \int \sec x \tan x dx &= \sec x + C\\ \int \csc x \cot x dx &= -\csc x + C\\ \int e^xdx &= e^x + C\\ \int a^x dx &= \frac{a^x}{\ln a} + C \end{aligned} \]

不定积分本身的内容就是这么多，理解起来并不困难。不过在实际解决问题的过程当中，还存在一些解题的技巧，由于篇幅问题，我们放到下一篇文章当中和大家一起分享。

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