刷题笔记

题目描述

343 - Integer Break
Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.
剪绳子

Example 1:

Input: 2
Output: 1
Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

Example 2:

Input: 10
Output: 36
Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

解题思路

• 动态规划

大问题可以转化为各个子问题的最优解，应该要想到思路是动态规划，也就是要自底向上开始，且应该有 ，代码如下：

public int integerBreak(int n) {
        if(n < 2) return 0;
        if(n == 2) return 1;
        if(n == 3) return 2;
        int [] dp = new int [n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for (int i = 4;i <= n; i ++) {
            for (int j = 1; j <= i/2; j ++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] * dp[i-j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }

这里还考虑到了对称性，但是要写出前几项，还有一种简短的写法：

public int integerBreak(int n) {
        int [] dp = new int [n+1];
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2;i <= n; i ++) {
            for (int j = 1; j < i; j ++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), dp[j]*(i-j)));
            }
        }
        return dp[n];
    }

• 贪心

尽可能多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。

证明：当 n >= 5 时，3(n - 3) - n = 2n - 9 > 0，且 2(n - 2) - n = n - 4 > 0。因此在 n >= 5 的情况下，将绳子剪成一段为 2 或者 3，得到的乘积会更大。又因为 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，所以剪成一段长度为 3 比长度为 2 得到的乘积更大。

public int integerBreak(int n) {
    if (n < 2)
        return 0;
    if (n == 2)
        return 1;
    if (n == 3)
        return 2;
    int timesOf3 = n / 3;
    if (n - timesOf3 * 3 == 1)
        timesOf3--;
    int timesOf2 = (n - timesOf3 * 3) / 2;
    return (int) (Math.pow(3, timesOf3)) * (int) (Math.pow(2, timesOf2));
}