平衡二叉树与哈夫曼树（5）

有了二叉排序树就可以使插入、搜索效率大大提高了，为什么还要引入平衡二叉树？

二叉搜索树的结构与值的插入顺序有关，同一组数，若其元素的插入顺序不同，二叉搜索树的结构是千差万别的。举个例子，给出一组数[1,3,5,8,9,13]。

 

 若按照[1,3,5,8,9,13]这样的顺序插入

 

 

如果在上面的二叉搜索树中查找13，是要将所有节点都遍历一遍的，时间复杂度就变成了O(n)，几乎就是一个链表。

为了避免二叉搜索树变成“链表”，我们引入了平衡二叉树，即让树的结构看起来尽量“均匀”，左右子树的节点数尽量一样多。

平衡二叉树的定义：

平衡二叉树，又称AVL树，指的是左子树上的所有节点的值都比根节点的值小，而右子树上的所有节点的值都比根节点的值大，

且左子树与右子树的高度差最大为1。因此，平衡二叉树满足所有二叉排序（搜索）树的性质。

 

那给定插入序列，如何生成一棵平衡二叉树呢？

先按照生成二叉搜索树的方法构造二叉树，直至二叉树变得不平衡，即出现这样的节点：左子树与右子树的高度差大于1。

主要有四种调整方式：LL（左旋）、RR（右旋）、LR（先左旋再右旋）、RL（先右旋再左旋）。

但是在平衡二叉树调整的时候，往往使用旋转的方式，效果不明显。因此我使用下面的方式进行处理

1）从树根部开始取3个平衡的点【4,8,11】

2）进行中序遍历，取出3点钟的中位数字【8】

3）按照树根在二叉树的性质下，排列

 

 

哈夫曼树： 

一般来说，用n（n>0）个带权值的叶子来构造二叉树，限定二叉树中除了这n个叶子外只能出现度为2的结点。那么符合这样条件的二叉树往往可构造出许多颗，其中带权路径长度最小的二叉树就称为哈夫曼树或最优二叉树

展示哈夫曼树的构建过程：

 

 

 

构建新的树：

 

 

 

最后：

 

 总结为：总是将最大的权值放在离根节点最近的地方，将权值最小的放在叶子上。