数据结构复习之次优查找树的建立

　　查找效率最高即平均查找长度最小，根据前面所学知识，我们可以给出有序表在非等概率情况下应遵循的两个原则：   

　　1、最先访问的结点应是访问概率最大的结点； 

　　2、每次访问应使结点两边尚未访问的结点的被访概率之和尽可能相等。

　　这两个原则可用一句话来表示，即判定树为带权内路径长度之和最小的二叉树，亦即：PH = ∑wihi  最小，其中 n 为有序表长度，hi 为第 i 个结点在判定树上的层次数，wi = cpi，c 为某个常数，pi 为第 i 个结点的查找概率。

        这样的树称为静态最优查找树（static optimal search tree），构造这样一棵树的时间代价太大，亦即时间复杂度很大，因此我们通常是构造次优查找树（nearly optimal search tree），构造它的时间代价远远低于构造最优查找树，但查找性能只比最优查找树差1%~2%，很少差3%以上。

次优查找树的构造： 
  
        设有序表每个记录的权值为 wl,wl+1,…,wh，第一个应访问的结点号为 i ，则有： 
Δpi =   ∑wj - ∑wj   最小，即 Δpi = Min {Δpj } 
再分别对 {rl,rl+1,…,ri-1} 和 {ri+1,ri+2,…,rh} 分别构造次优查找树。 
  
为便于计算，引入累计权值swi=∑wj，并设wl-1=swl-1=0，则：

    
        由于在构造次优查找树时没有考虑前面说的原则一，因此被选为根的结点的权值可能比其邻近结点的权值小，此时应对查找树作适当的调整，将相邻权值大的结点作为根结点。

          次优查找树的查找方法与折半查找类似，其平均查找长度与 log n 成正比。

注意：利用上述算法构造好次优二叉树之后，可能并不是最优的，因为在构造过程中，没有考虑单个关键字的相应权值，则有可能出现被选为根的关键字的权值比与

　　　 它相邻的关键字的权值小。此时应做适当的调整：选取邻近的权值较大的关键字作为次优查找树的根节点（也就是左旋和右旋子树#include<iostream>

#include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<string> #include<cmath>

#define N 100

#define MAXN 0x3f3f3f3f

using namespace std; template<typename T>

class TreeNode{ public: TreeNode* child[2]; T val; int w; TreeNode(){ child[0] = child[1] = NULL; } }; template<typename T>

class NearlyOptimalSearchTree{//次优查找树 

    public: int n; T val[N]; int w[N]; int sw[N]; TreeNode<T> *t; void input(); void init(); void outT(TreeNode<T>* t); private: void buildT(int ld, int rd, TreeNode<T>* &t);//建立次优查找树 

        void adjustment(TreeNode<T>* &t);//调整次优查找树 

        void rotateT(TreeNode<T>* &t, int x); }; template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::input(){ cin>>n; for(int i=1; i<=n; ++i) cin>>val[i]>>w[i]; } template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::init(){ sw[0] = 0; for(int i=1; i<=n; ++i) sw[i] = sw[i-1]+w[i]; buildT(1, n, t); cout<<"没有调整前的先序遍历:"<<endl; outT(t); adjustment(t); cout<<endl<<"调整后的先序遍历:"<<endl; outT(t); cout<<endl; } template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::buildT(int ld, int rd, TreeNode<T>* &t){ if(ld > rd) return; int minN = MAXN; int i; for(int j=ld; j<=rd; ++j){ int ans = sw[rd] - sw[j-1] - sw[j]; ans = abs(ans); if(minN > ans){ minN = ans; i = j; } } t = new TreeNode<T>; t->val = val[i]; t->w = w[i]; if(ld==rd) return; buildT(ld, i-1, t->child[0]); buildT(i+1, rd, t->child[1]); } template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::adjustment(TreeNode<T>* &t){ if(!t) return; int lmax = 0, rmax = 0; if(t->child[0]) lmax = t->child[0]->w; if(t->child[1]) rmax = t->child[1]->w; int maxVal = max(lmax, rmax); if(t->w < maxVal){ if(maxVal == lmax){ rotateT(t, 1);//右旋子树 

        } else { rotateT(t, 0);//左旋子树 

 } } adjustment(t->child[0]); adjustment(t->child[1]); } template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::rotateT(TreeNode<T>* &o, int x){ TreeNode<T>* k = o->child[x^1]; o->child[x^1] = k->child[x]; k->child[x] = o; o = k; } template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::outT(TreeNode<T>* t){ if(!t) return; cout<<t->val<<" "; outT(t->child[0]); outT(t->child[1]); } int main(){ NearlyOptimalSearchTree<string> nost; nost.input(); nost.init(); return 0; }

/*
　　演示结果如下:

9
A 1
B 1
C 2
D 5
E 3
F 4
G 4
H 3
I 5
没有调整前的先序遍历:
F D B A C E G H I
调整后的先序遍历:
D C B A F E G I H

5
A 1
B 30
C 2
D 29
E 2
没有调整前的先序遍历:
C B A D E
调整后的先序遍历:
B A D C E

*/

 

#include<iostream> 

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<string> 

#include<iomanip>

#include<cmath>

#include<queue>

#define N 100

#define MAXN 0x3f3f3f3f

using namespace std;



template<typename T>

class TreeNode{

    public:

        TreeNode* child[2];

        T val;

        int w; 

        int d;//距离屏幕左端的宽度 

        TreeNode(){

            child[0] = child[1] = NULL;

        }

};



template<typename T>

class NearlyOptimalSearchTree{//次优查找树 

    public:

        int n;

        T val[N];

        int w[N];

        int sw[N];

        TreeNode<T> *t;

        void input();

        void init();

        void outT(TreeNode<T>* t);

    private:

        int width;

        int step;

        void buildT(int ld, int rd, TreeNode<T>* &t);//建立次优查找树 

        void adjustment(TreeNode<T>* &t);//调整次优查找树 

        void rotateT(TreeNode<T>* &t, int x);

        void widthT(TreeNode<T>* t);//计算每个节点到屏幕左端的距离 

};



template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::input(){

    cin>>n;

    for(int i=1; i<=n; ++i)

        cin>>val[i]>>w[i];

}



template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::init(){

    sw[0] = 0;

    width = 0;

    step = 2;

    for(int i=1; i<=n; ++i)    

        sw[i] = sw[i-1]+w[i];

    buildT(1, n, t);

    cout<<"没有调整前的先序遍历:"<<endl;

    outT(t);

    adjustment(t);

    cout<<endl<<"调整后的先序遍历:"<<endl;

    outT(t);

    cout<<endl;

}



template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::buildT(int ld, int rd, TreeNode<T>* &t){

    if(ld > rd) return;

    int minN = MAXN;

    int i;

    for(int j=ld; j<=rd; ++j){

        int ans = sw[rd] - sw[j-1] - sw[j];    

        ans = abs(ans);

        if(minN > ans){

            minN = ans;

            i = j;

        }

    }

    t = new TreeNode<T>;

    t->val = val[i];

    t->w = w[i];

    if(ld==rd) return;

    buildT(ld, i-1, t->child[0]);

    buildT(i+1, rd, t->child[1]);

}



template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::adjustment(TreeNode<T>* &t){

    if(!t) return;

    int lmax = 0, rmax = 0;

    if(t->child[0]) lmax = t->child[0]->w;

    if(t->child[1]) rmax = t->child[1]->w;

    int maxVal = max(lmax, rmax);

    if(t->w < maxVal){

        if(maxVal == lmax){

            rotateT(t, 1);//右旋子树 

        } else {

            rotateT(t, 0);//左旋子树 

        } 

    }

    adjustment(t->child[0]);

    adjustment(t->child[1]);

}



template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::rotateT(TreeNode<T>* &o, int x){

    TreeNode<T>* k = o->child[x^1];

    o->child[x^1] = k->child[x];

    k->child[x] = o;

    o = k; 

}



template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::widthT(TreeNode<T>* t){

    if(!t) return;

    widthT(t->child[0]);

    t->d = width;

    width+=step; 

    widthT(t->child[1]);

}



template<typename T>

void NearlyOptimalSearchTree<T>::outT(TreeNode<T>* t){

    width=0;

     widthT(t);

     queue<TreeNode<T>*> q, qq;

     q.push(t);

     int n=1;//当前层的节点个数 

     int i=1;//当前层第几个节点 

     int nn=0;//统计下一次的节点的个数

     int pred;//前一个节点距离左屏幕的距离 

     while(!q.empty()){

         TreeNode<T>* tt = q.front();

         q.pop();

         qq.push(tt);

        if(tt != t){//不是根节点, 打印分枝竖线 

             if(i==1){

                 printf("%*s", tt->d, "|");

                 pred = tt->d;

             } else {

                 printf("%*s", tt->d-pred, "|");

                 pred = tt->d;

             }

        }

         //放入孩子节点 

         if(tt->child[0]) q.push(tt->child[0]), ++nn;

         if(tt->child[1]) q.push(tt->child[1]), ++nn;

        ++i; 

        if(i>n){//上一层访问完毕 

             i=1;

             n = nn;

             nn = 0;

             printf("\n");

             bool first = true;//是否是这一行的第一个节点 

             int ld, rd; 

             while(!qq.empty()){//打印上层节点字符 

                 TreeNode<T>* tt = qq.front();

                 qq.pop();

                 if(first){

                     cout<<setw(tt->d)<<tt->val;

                     pred = tt->d;

                     ld = tt->d;

                     if(tt->child[0])

                         ld = tt->child[0]->d; 

                 } else {

                     cout<<setw(tt->d - pred)<<tt->val;

                     pred = tt->d;

                 }

                first = false;

                if(qq.empty()){//这一层的最后一个节点 

                    rd = tt->d+1;

                    if(tt->child[1])

                        rd = tt->child[1]->d;

                }

             }

             printf("\n");

             if(q.empty()) break;//这是最后一层 

             cout<<setw(ld-1)<<"";

             for(int i=ld; i<=rd; ++i)

                 printf("-") ;

             printf("\n");

         }

     }

}



int main(){

    NearlyOptimalSearchTree<string> nost;

    nost.input();

    nost.init();

    return 0;

}

/*
　　//演示结果

9
A 1
B 1
C 2
D 5
E 3
F 4
G 4
H 3
I 5
没有调整前的先序遍历:

F
-------
| |
D G
-------------
| | |
B E H
-----------------
| | |
A C I

调整后的先序遍历:

D
-------
| |
C F
-----------
| | |
B E G
-----------------
| |
A I
------------------
|
H

*/