数字图像处理学习笔记（十）——空间滤波
数字图像处理(Digital Image Processing)是通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。本专栏将以学习笔记形式对数字图像处理的重点基础知识进行总结整理，欢迎大家一起学习交流！
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空间滤波示例
空间滤波和空间滤波器的定义
使用空间模板进行的图像处理，被称为空间滤波。模板本身被称为空间滤波器。
在 M×N 的图像f上，使用 m×n 的滤波器：
其中，m=2a+1,n=2b+1, w(s,t)是滤波器系数，f(x,y)是图像值。一般来说最小尺寸是3。
空间滤波的简化形式：
其中，w是滤波器系数，z是与该系数对应的图 像灰度值，mn为滤波器中包含的像素点总数。
线性滤波器也可以使用偶数尺寸的滤波器，但是为了方便索引，使用奇数尺寸滤波器
执行空间滤波时的相关和卷积概念
一唯滤波器
注：此滤波器w是一唯滤波器，因此扩展在其两侧扩展
相关就是操作完再翻转
卷积就是先翻转再操作
卷积的基本特性是某个函数与某个单位冲激卷积，得到一个在该冲激处的这个函数的拷贝。（相关操作也是得到一个函数的拷贝，但该拷贝旋转了180°）
相关与此不同的是：
①相关是滤波器位移的函数。相关的第一个值(c)对应于滤波器的零位移，第二个值(d)对应于一个单元位移……
②滤波器w与包含有全部0单个1的函数（称作离散单位冲激）相关，得到的结果是w的一个拷贝，但旋转了180°(左侧第一行与最后一行看出)
结论：一个函数与离散单位冲激相关，在该冲激位置产生这个函数的一个翻转版本
二唯滤波器
对于大小为m×n的滤波器，在图像顶底部至少填充m-1行0，在左右侧填充n-1列0
和一唯相关、卷积一样，相关先操作后翻转，卷积先旋转后操作
（在二维情况下，旋转180°等同于沿一个坐标轴翻转，再沿另一个坐标轴翻转[即x,y轴翻转两次]）
若滤波器模板对称，那么相关和卷积得到的结果是一致的
相关还可用于寻找图像中的匹配
平滑空间滤波器的作用
☞模糊处理:去除图像中一些不重要的细节
☞减小噪声
平滑空间滤波器的分类
☞线性滤波器：均值滤波器（包含在滤波器邻域内像素的平均值，也称为均值滤波器）
作用：减小图像灰度的“尖锐”变化，减小噪声
由于图像边缘是由图像灰度尖锐变化引起的，所以也存在边缘模糊的问题
☞非线性滤波器：最大值滤波器、中值滤波器、最小值滤波器
左图是标准的像素平均值 ，右图是像素的加权平均，表明一些像素更为重要
应用
应用①：去噪（使噪声小的部位变模糊，从而达到去噪目的）
应用②：提取感兴趣部分（使用想要去除部位点大小的滤波器使图像变模糊(如图b)，再阈值处理变二值图像(如图c)）
事实上，Photoshop中的“滤镜”原理也用到了本文上述所述内容
统计排序滤波器
统计排序滤波器是一种非线性滤波器，是基于滤波器所在图像区域中像素的排序，由排序结果决定的值代替中心像素的值
分类 ：中值滤波器： 用像素领域内的中间值代替该像素
主要用途：去除噪声（尤其是椒盐噪声[即以黑白点的形式叠加在图像上的]）
计算公式：R = mid {
| k = 1,2,…,n}
最大值滤波器：用像素领域内的最大值代替该像素
主要用途：寻找最亮点
计算公式：R = max { | k = 1,2,…,n}
最小值滤波器：用像素领域内的最小值代替该像素
主要用途：寻找最暗点
计算公式：R = min { | k = 1,2,…,n}
中值滤波器
用模板区域内像素的中间值，作为结果值 R = mid { | k = 1,2,…,n}
强迫突出的亮点（暗点）更象它周围的值， 以消除孤立的亮点（暗点）
简单来讲就是用于处理周围暗点中的级亮点或周围亮点中的级暗点
中值滤波算法的实现
原理：将模板区域内的像素排序，求出中间值
☞例如：3x3的模板，第5大的是中值，
5x5的模板，第13大的是中值，
7x7的模板，第25大的是中值，
9x9的模板，第41大的是中值。
☞对于同值像素，连续排列。 如（10,15,20,20,20,20,20,25,100）
中值滤波算法的特点
☆在去除噪音的同时，可以比较好地保留边的锐度和图像的细节（优于均值滤波器）
☆能够有效去除脉冲噪声：以黑白点叠加在图像上
很明显，中值滤波要比均值滤波在去除椒盐噪声方面效果好得多
图像锐化滤波器
引入原因：在使用图像平滑可让模糊图像达到图像降噪的目的，但同时存在一个问题就是会使得图像的边缘被淡化。
锐化滤波恰相反，图像平滑是一个积分的过程，图像锐化便是通过图像微分增强边缘和其他突变，削弱灰度变换缓慢的区域。
在图像微分锐化操作中，对于一阶微分的任何定义需要保证以下三点：
在恒定灰度区域的微分值为零
在灰度台阶或斜坡处微分值非零
沿着斜坡的微分值非零
同样类比得对于二阶微分的任何保证以下三点：
在恒定区域微分值为零
在灰度台阶或斜坡的起点处微分值非零
沿着斜坡的微分值非零
注：在恒定区域微分值为零
在灰度台阶或斜坡的起点处微分值非零
沿着斜坡的微分值非零
锐化滤波器的主要用途：
☞突出图像中的细节，增强被模糊了的细节
☞印刷中的细微层次强调。弥补扫描对图像的钝化
☞超声探测成像，分辨率低，边缘模糊，通过 锐化来改善
☞图像识别中，分割前的边缘提取
☞锐化处理恢复过度钝化、暴光不足的图像
☞尖端武器的目标识别、定位
锐化（微分）滤波器的原理
• 均值产生钝化的效果，而均值与积分相似，由此而联想到，微分能不能产生相反的效果，即锐化的效果？结论是肯定的。
•在图像处理中应用微分最常用的方法是计算梯度。函数f(x,y)在(x,y)处的梯度为一个向量：
锐化滤波器的分类
一阶微分滤波器－梯度算子
二阶微分滤波器－拉普拉斯算子
梯度算子（一阶微分对图像进行锐化）
梯度通过一个二维列向量来定义
向量的模值
如下图3x3的图像区域，z代表灰度级，上式在点
的
值可用数字方式近似
向量模值的近似计算
用绝对值替换平方和平方根有：
微分过滤器的原理：
另外一种计算方法是使用交叉差：
微分滤波器模板系数设计分类
☞Roberts交叉梯度算子
梯度计算由两个模板组成，第一个求得梯度的第一项，第二个求得梯度的第二项，然后求和，得到梯度。
两个模板称为Roberts 交叉梯度算子
☞Prewitt梯度算子——3x3的梯度模板
左上-下 右右-左
☞Sobel梯度算子——3x3的梯度模板
左上-下 右右-左
拉普拉斯算子（二阶微分对图像进行锐化）
图像函数的拉普拉斯变换定义为
上式②与式③给出了求二阶导的方法，即横轴两侧像素值相加-中间像素值×2、纵轴上下像素值相加-中间像素值×2
上图a给出了在二阶导公式
下的滤波器模板（上下左右为1，中间为-4）
进一步说明，若想使处理部分更加锐化，可将中间数值由-4调整为-8甚至绝对值数值更大
图c与图d分别是图a与图b的反变换，由ab图周围点-中间点变化调整为中间点-周围点，但实质是一样的
另外再给出一个公式：
该式中，g(x,y)为锐化后的输出图像，f(x,y)为输入图像，
若使用上述拉普拉斯滤波器的图a、b模板，该式中的c取值-1（为了使输出边缘轮廓锐化，像素值值更高，故取-1）
同理，若用图c、d的普拉斯滤波器模板，则取值为1
由于拉普拉斯是一种微分算子，因此其强调的是图像中灰度的变换（边缘变换就是灰度变换），忽视图像灰度变换缓慢的区域。
因此我们通过拉普拉斯算子得出的是图像更多的是边缘线
因此，我们可以将原图和拉普拉斯图像叠加在一起，可以复原背景特性并且保持拉普拉斯锐化处理的效果。
综上对拉普拉斯算子式的解释可知，拉普拉斯变换对图像增强的基本方法有两种：
其中，(1)用于拉普拉斯模板中心系数为负
(2)用于拉普拉斯模板中心系数为正
拉普拉斯算子的应用实例
其中，标定的含义为将图像的最小值加以某数值使0成为图像像素值的最小值，进而使黑变灰，整体像素值非负
由拉普拉斯算子对图像增强的基本方法的公式细化
细化的目的是直接使用右图类似的拉普拉斯滤波器模板即可，不再像前面所述那样使用模板后再与原图像进行算数操作，会省去了很多繁琐的步骤
