圆周摆线

这几天 反相吧 吧主 incinc  在 反相吧 发了 一个 帖 《美国早期高考的一道数学题，你做得对嘛？》  https://tieba.baidu.com/p/6751019015  ，

 

这 帖 出奇 的 火 了，    还 诞生了 几个 讨论 这个 问题 的 新 的 帖子，    啊这 。

 

这个 帖 里 的 题目 是 ：

 

 

 

 

 

 

其实 可以 把 这个 题目 当成 另一个 数学题  来 做，     设 小圆 初始时 和 大圆 接触 的 点 为 A，    求 A 点 的 轨迹  。

 

 

 

 

红色 的 点 就是 A 点，   A 点 是 小圆 的 点，   初始时 和 大圆 接触  。   原题 的 图 里  A 、B 是 圆心，    我下面 会 重新 画图 把 圆心 改成  O 和 O ′  。

 

如图，     大圆 圆心 为 O，   小圆 圆心 为 O ′   ，        A 点 在 小圆 上，  B 点 在 大圆 上，    初始时，  A 、B 两点接触  。   求 A 点 轨迹  。

以  大圆 圆心  O  为  原点 建立 极坐标系，    极角 θ  =  ∠ AOB  ，    极径 ρ  =  OA   。

 

小圆 的 滚动过程 可以分为 前半周 和 后半周，     OO ′A  三点 在 一条直线 之前 为 前半周，   之后 是 后半周  。

我们 研究 前半周，   前半周 可以 分为 2 段，   OA 与 小圆 相切 之前 是 第一段，   之后 是 第二段 。

图 (1)   是 第一段，    图 (2) 是 第二段，    OA 与 小圆 相切 是 第一段 和 第二段 的 分界点  。

可以看到，  第一段 的  ∠ OAO ′  是 钝角，   第二段 的  ∠ OAO ′  是 锐角  。

为了便于叙述，  将 第一段 命名为  “前半周 - 1 段”，   第二段 命名为 “前半周 - 2 段”  。

 

    图 (1)            图 (2)

 

 

作  AH 垂直于 OO ′，  与  OO ′  相交于 H  。     设 大圆 半径为 R，  小圆 半径 为  r  。