题目:有一个整型数组A,代表数值不同的纸牌排成一条线。玩家a和玩家b依次拿走每张纸牌,规定玩家a先拿,玩家b后拿,但是每个玩家每次只能拿走最左或最右的纸牌,玩家a和玩家b都绝顶聪明,他们总会采用最优策略。请返回最后获胜者的分数。给定纸牌序列A及序列的大小n,请返回最后分数较高者得分数(相同则返回任意一个分数)。
测试样例:
[1,2,100,4],4
返回:101
解析:
a和b都是绝顶聪明,他们每次拿元素时,肯定是按对自己最有力的方式拿。该题目先由最普通的递归解法,然后进行优化,到动态规划。
递归方式,对数组arr,元素数为n。
F(arr, l , r)表示对于数组arr,元素从l到r,先拿可以达到的最大分数;
S(arr, l, r)表示对于数组arr, 元素从l到r,后拿可以达到的最大分数。
对于F(arr, l, r),先拿时,有两种拿法,拿第一个arr[l],或最后一个arr[r];如果拿arr[l],那么剩余的arr[l+1,....r]能拿到的最大分数为S(arr, l+1, r),分数为arr[l] +S(arr, l+1, r); 如果拿arr[r],剩余的arr[l, ...r-1]能拿到的最大分数为S(arr, l, r-1),分数为arr[r] + S(arr, l, r-1),因为对于先拿后剩余的数组,当前人再拿的话是后拿的,然后取这两种拿法较大的分数。
对于S(arr, l, r),如果前一个人先拿了arr[l],则后拿的分数为F(arr, l+1, r),如果前一个人先拿了arr[r],则后拿的分数为F(arr, l, r-1),因为对于剩余的元素来说,你是先拿的,取两种方式的较小值才是S的值。(为什么取较小值,而不是较大值?因为a和b都是绝顶聪明人,你是在另一个绝顶聪明人之后才拿的,他给你剩下的肯定是较坏的情况)
递归实现的方式如下,可以再进行动态规划方式的优化,接下来再讲。
/* 返回较大值 */
int Max(int a, int b)
{
return ((a > b) ? a : b);
}
/* 返回较小值 */
int Min(int a, int b)
{
return ((a < b) ? a : b);
}
/* 对数组arr,从l到r元素,先拿的最大分数 */
int F(int arr[], int l, int r)
{
if (l == r)
{
return arr[l];
}
return Max(arr[l] + S(arr, l+1, r), arr[r] + S(arr, l, r-1));
}
/* 对数组arr,从l到r元素,后拿的最大分数 */
int S(int arr[], int l, int r)
{
if (l == r)
{
return 0;
}
return Min(F(arr, l+1, r), F(arr, l, r-1));
}
int FindWinnerScore(int arr[], int l, int r)
{
int A_score = 0;
int B_score = 0;
A_score = F(arr, l, r);
B_score = S(arr, l, r);
return ((A_score > B_score) ? A_score : B_score);
}
态规划定义了两个表F和S,F[i][j]表示arr[i...j]先拿的最大分数,S[i][j]表示arr[i...j]后拿的最大分数。最终比较F[0][n-1]和S[0][n-1]的值,返回较大的即可。
在遍历填写两个表之前,我们可以对表进行初始化。初始化后,可以按列进行遍历,行从最后一个开始,因为每个F[i][j]和S[i][j]的值都是由F[i+1][j]、F[i][j-1]或S[i+1][j]、S[i][j-1]得到的。
动态规划的代码如下:
int DP(int arr[], int n)
{
int i = 0;
int j = 0;
int** F = NULL;
int** S = NULL;
F = (int**)malloc(sizeof(int*)*n);
S = (int**)malloc(sizeof(int*)*n);
for (i = 0; i < n; i++)
{
F[i] = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
S[i] = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
}
/* 初始化 */
F[0][0] = arr[0];
S[0][0] = 0;
F[n-1][n-1] = arr[n-1];
S[n-1][n-1] = 0;
for (i = 1; i < n; i++)
{
F[i][0] = 0;
S[i][0] = 0;
}
for (i = 0; i < n-1; i++)
{
F[n-1][i] = 0;
S[n-1][i] = 0;
}
for (j = 1; j < n; j++)
{
for (i = n-2; i >= 0; i--)
{
if (i <= j)
{
F[i][j] = Max(arr[i] + S[i+1][j], arr[j] + S[i][j-1]);
S[i][j] = Min(F[i+1][j], F[i][j-1]);
}
else
{
F[i][j] = 0;
S[i][j] = 0;
}
}
}
return Max(F[0][n-1], S[0][n-1]);
}