位运算

文章采摘自百度百科http://baike.baidu.com/view/379209.htm，有删减，将其pascal代码改为c语言代码。

简介：

程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算说穿了，就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。比如，and运算本来是一个逻辑运算符，但整数与整数之间也可以进行and运算。举个例子，6的二进制是110，11的二进制是1011，那么6 and11的结果就是2，它是二进制对应位进行逻辑运算的结果（0表示False，1表示True，空位都当0处理）。

如i*94 = i*(64 + 32 - 2) = i*64 + i*32 –i*2 = i<<6 + i<<5 – i<<1;后者运算速率远大于前者。

运算符号

假设AB都是整型类型

Pascal	C	Java
A and B	A&B	A&B（同1为1）
A or B	A|B	A|B（同0为0）
A xor B	A^B	A^B（异或，相同为0）
not A	~A	~A（按位取反）
A shl B	A<	A<
A shr B	A>>B	A>>B（无符号右移，right）
-	-	A>>>B（带符号右移）

 

 

=== 1. and运算 ===

and运算通常用于二进制取位操作，例如一个数and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数。

相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。（&；或者and）

00101

11100

----------------

00100

=== 2. or运算 ===

or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。（|或者or）

相同位只要一个为1即为1。

00101

11100

----------------

11101

=== 3. xor运算 ===

异或的符号是⊕。按位异或运算, 对等长二进制模式按位或二进制数的每一位执行逻辑按位异或操作. 操作的结果是如果某位不同则该位为1, 否则该位为0.

xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即（a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。

相同位不同则为1，相同则为0。（^或者xor）

00101

11100

----------------

11001

延伸：

于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程：

int swap(int a, int b){

         a=a^ b;

         b=a ^ b;

         a=a ^ b;

}

=== 4. not运算 ===

not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用00到$FFFF依次表示的。下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。

=== 5. shl运算 ===

a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2= 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。

通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。

定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。

=== 6. shr运算 ===

和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

这里注意一下负数的左移和右移：

1)负数的右移：负数右移的话，由于要保持它是负数，所以负数的二进制的右边补1。如果一直右移的话，最后就就变成0xFFFFFFFF 即-1

如： -4>>1 为-2 ；-4>>2为-1

2)负数的左移：跟正整数左移一样，右边补0，一直左移的话，最后就是0啦。-2<<2为-4 ； -2<<31为0

优先级

C语言中位运算符之间，按优先级顺序排列为

1	~
2	<<、>>
3	&
4	^
5	|
6	&=、 ^=、 |=、 <<=、 >>=

 

 

常见的二进制位的操作。

功能	示例	位运算
去掉最后一位	101101->10110	x shr 1
在最后加一个0	101101->1011010	x shl 1
在最后加一个1	101101->1011011	x shl 1+1
把最后一位变成1	101100->101101	x or 1
把最后一位变成0	101101->101100	x or 1-1
最后一位取反	101101->101100	x xor 1
把右数第k位变成1	101001->101101,k=3	x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0	101101->101001,k=3	x and not (1 shl (k-1))
右数第k位取反	101001->101101,k=3	x xor (1 shl (k-1))
取末三位	1101101->101	x and 7
取末k位	1101101->1101,k=5	x and (1 shl k-1)
取右数第k位	1101101->1,k=4	x shr (k-1) and 1
把末k位变成1	101001->101111,k=4	x or (1 shl k-1)
末k位取反	101001->100110,k=4	x xor (1 shl k-1)
把右边连续的1变成0	100101111->100100000	x and (x+1)
把右起第一个0变成1	100101111->100111111	x or (x+1)
把右边连续的0变成1	11011000->11011111	x or (x-1)
取右边连续的1	100101111->1111	(x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一个1的左边	100101000->1000	x and (x xor (x-1))（或 x and (-x)）

 

题型举例：

奇偶性

我们可以用下面的代码来计算一个32位整数的二进制中1的个数的奇偶性，当输入数据的二进制表示里有偶数个数字1时程序输出0，有奇数个则输出1。例如，1314520的二进制101000000111011011000中有9个1，则x=1314520时程序输出1。

 代码：

//针对三十二位数（int）
//每异或一次，最后一位代表加上自身往前供2^i个位置的1的个数
//最后取出最后一位的值
int is_Odd_Bits(int a){
    a = a^(a>>1);
    a = a^(a>>2);
    a = a^(a>>4);
    a = a^(a>>8);
    a = a^(a>>16);
    return a&1;
}

绝对值

只用位运算来取绝对值。

int int_abs(int x)
{
	//int 是32位,以补形式存储，如果是负数，则y为-1，如果是正数，则y为0
	//11111111 11111111 111111111 11111111这是-1的补码
	//return (x^x>>31) - x>>31;//由补码求原码取反加1，-y等于+1
	return (x^(x>>31)) - (x>>31);//另外，运算符的优先级为：~优先于+-*/优先于>><<优先于&^
}

高低位交换

给出一个小于2^32的正整数。这个数可以用一个32位的二进制数表示（不足32位用0补足）。我们称这个二进制数的前16位为“高位”，后16位为“低位”。将它的高低位交换，我们可以得到一个新的数。试问这个新的数是多少（用十进制表示）。

例如，数1314520用二进制表示为0000 0000 0001 0100 0000 1110 1101 1000（添加了11个前导0补足为32位），其中前16位为高位，即00000000 0001 0100；后16位为低位，即0000 1110 1101 1000。将它的高低位进行交换，我们得到了一个新的二进制数0000 1110 1101 1000 0000 0000 0001 0100。它即是十进制的249036820。

代码：

int High_Low_Bit_Swap(int x){
    return (x>>16)|(x<<16);
}

逆序

下面的程序读入一个32位整数并输出它的二进制倒序后所表示的数。

输入：1314520 （二进制为00000000000101000000111011011000）

输出：460335104 （二进制为00011011011100000010100000000000）

代码：

int Reverse_Bit(int x){
    x= (x & 0x55555555)<<1 | (x & 0xAAAAAAAA)>>1;
    x= (x & 0x33333333)<<2 | (x & 0xCCCCCCCC)>>2;
    x= (x & 0x0F0F0F0F)<<4 | (x & 0xF0F0F0F0)>>4;
    x= (x & 0x00FF00FF)<<8 | (x & 0xFF00FF00)>>8;
    x= (x & 0x0000FFFF)<<16 | (x & 0xFFFF0000)>>16;
    return x;
}

补充：

位数不同的运算数之间的运算规则补充：

C语言中，位运算的对象可以是整型（int）和字符型（char）数据。（整形数据可以直接转化成二进制数，字符型数据在内存中以它的ASCII码值存放，也可以站化成二进制数）当两个运算数类型不同时，位数亦会不同。遇到这种情况，系统将自动进行如下处理：

1将两个运算数右端对齐。

2 再将位数短的一个运算数往高位扩充，即：无符号数和正整数左侧用0补全；负数左侧用1补全；然后对位数相等的两个运算数，按位进行运算。