大话数据结构笔记——二叉树（基础）

一、二叉树的定义

       二叉树是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

1.二叉树的特点

       ①每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
       ②左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
       ③即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

       二叉树具有五种基本形态：空二叉树、只有一个根结点、根结点只有左子树、根结点只有右子树，根结点既有左子树又有右子树。

2.特殊二叉树

       ①斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树，所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。
       ②满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。如下图：

       ③完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。如下图：

       完全二叉树的一些特点：
       （1）叶子结点只能出现在最下两层。
       （2）最下层的 叶子一定集中在左部连续位置。
       （3）倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
       （4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
       （5）同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

二、二叉树的性质

       1.在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i≥1）。
       2.深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k≥1）。
       3.对任何一棵二叉树T，如果其叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
       假设度为1的结点数为n1，树T的结点总数为n，则有n=n0+n1+n2。
       T树的分支线（即连接结点的线）数为n1+2n2，还等于n-1，所以有：
       n-1 = n1+2n2，和等式 n = n0+n1+n2联立可推导出 n0 = n2+1.
       4.具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1（[x]表示不大于x的最大整数）
       对于一个完全二叉树，它的结点数n满足：
       2^(k-1) - 1 ≤ n ≤ 2^k - 1，k为二叉树的深度，由于结点数n是整数，n ≤ 2^k - 1意味着n < 2^k,n > 2^(k-1) - 1,意味着n ≥ 2^{(k-1)，所以2}(k-1) ≤ n ≤ 2^k，不等式两边取对数，得到k-1 ≤ [log2n] < k,而k作为深度也是整数，因此 k = [log2n] + 1。

       5.如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为[log2n] +1）的结点按层编号（从第1层到第[log2n] +1层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：
       ①如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2]（[x]表示不大于x的最大整数）。
       ②如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
       ③如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。
       可以根据下图二叉树进行验证：

三、二叉树的遍历

       二叉树既可以用顺序存储结构表示也可以用链式存储结构表示，一般我们用链式存储结构表示：

typedef struct BiTNode
{
	char data;
	struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

       二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

1.前序遍历

       若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再遍历右子树。如下图，遍历顺序为：ABDGHCEIF。

//二叉树的前序遍历递归算法
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
	if(T == NULL)
		return;
	printf("%c",T->data);   //显示结点数据，可以更改为其他对结点的操作
	PreOrderTraverse(T->lchild);   //先序遍历左子树
	PreOrderTraverse(T->rchild);   //先序遍历右子树
}

2.中序遍历

       若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。如下图，遍历的顺序为：GDHBAEICF。

//二叉树的中序遍历递归算法
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
	if(T == NULL)
		return;
	InOrderTraverse(T->lchild);   //中序遍历左子树
	printf("%c",T->data);   //显示结点数据，可以更改为其他对结点的操作
	InOrderTraverse(T->rchild);   //中序遍历右子树
}

3.后序遍历

       若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子结点后根结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。如下图，遍历的顺序为：GHDBIEFCA。

//二叉树的后序遍历递归算法
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
	if(T == NULL)
		return;
	PostOrderTraverse(T->lchild);   //后序遍历左子树
	PostOrderTraverse(T->rchild);   //后序遍历右子树
	printf("%c",T->data);   //显示结点数据，可以更改为其他对结点的操作
}

       已知前序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。
       已知后序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。
       已知前序和后序遍历，不能唯一确定一棵二叉树。

四、二叉树的建立

//按前序输入二叉树中的结点（一个字符）
//#表示空树，构造二叉链表表示二叉树T
void CreateBiTree(BiTree *T)
{
	char ch;
	scanf("%c",&ch);
	if(ch == '#')
		*T = NULL;
	else
	{
		*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
		if(!*T)
			exit(1);   //表示程序异常退出
		(*T)->data = ch;   //生成根结点
		CreateBiTree(&(*T)->lchild);   //构造左子树
		CreateBiTree(&(*T)->rchild);   //构造右子树
	}
}