线性代数(二十八) : 特征值与特征向量

接下来几节研究矩阵的普理论,本节定义矩阵谱理论中的概念特征值与特征向量以及他们存在性的证明

1 定义特征值与特征向量

对于nxn矩阵A和标量a和非零向量h, 若：

则称h是A的特征向量(Eigenvector)

a是A对应于特征向量h的特征值(Eigenvalues)

2 存在性证明

(i) 只要是复数域上的nxn矩阵都存在特征向量

证明:

取非零的n+1个向量：

n维空间的n+1个向量一定线性相关，于是存在：

其中Cj不全为零,上式可重写为：

其中p(t) 为多项式：

根据复数域上任意多项式都可以写为线性因子的乘积：

于是重写之前的式子：

因为w向量是非零向量,将非零向量映射为零向量,这说明上式那些因子乘积后得到的矩阵式不可逆的,

因此至少一个因子不可逆（可逆矩阵乘积仍可逆），假设该矩阵是A-aI，

令h为其零空间的任意一个非零向量,因此有：

上式既是A的特征方程.

A - aI 的零空间包含非零向量h 说明该矩阵不可逆，根据之前行列式的学习可知：

det(A-aI)=0 ( I 是单位矩阵)

3 关于该证明的解释

这个证明不太容易懂，若我们将一个nxn的矩阵视为线性映射,那么对一个非零向量重复进行该映射,

最多能得到n个线性无关的向量，然后构造出n+1个线性相关的向量，然后做因式分解,然后得出使

向量组线性相关的因子。然后得到特征方程，这就找到了特征向量和特征值。