后缀数组——height数组

说明：本文主要讲述后缀数组中的height数组，写后缀数组的一些题目时，发现大部分都要用到height数组，最长公共前缀就是height数组能求解的众多问题之一，本文通过对最长公共前缀的求解来讲述height数组，关于后缀数组的构造问题看这里：后缀数组的构造

最长公共前缀（Longest Common Prefix）

题目描述：给定一个字符串，求该字符串后缀a和后缀b的最长公共前缀

定义height[i]=k：表示后缀Sa[i]和后缀Sa[i-1]的最长公共前缀的长度为k

定义LCP(a，b)：表示后缀a和后缀b的最长公共前缀的长度

对于后缀a和后缀b的最长公共前缀（不妨设Rank[a]

LCP(a，b)=min（height[ Rank[a] ]、height[ Rank[a]+1]、height[ Rank[a]+2]、……、height[ Rank[b] ]）

这也就转化成了求height数组在区间[Rank[a]，Rank[b] ]上的最小值，这就是经典的RMQ问题，可用树状数组或线段树解决，所以现在我们只要求出height数组即可

例如：字符串为"aabaaaab"，求后缀"abaaaab"和后缀"aaab"的最长公共前缀，如图4所示：

如何快速求出height数组呢？

定义h数组：h[i] = height[ Rank[i] ] ；我开始一看这形式心态就崩了，这是什么意思啊！！！然后我就一步步地推才明白h[i]其实是表示"后缀i"和"后缀i前一个后缀z"的最长公共前缀的长度（这里的"前一个后缀"指后缀排序后，后缀i的前一个后缀）

h[i] = LCP(Sa[ Rank[i] ],Sa[ Rank[i]-1]）=LCP( i，Sa[ Rank[i]-1]）=LCP（i，z）（z满足：Rank[z] = Rank[i] -1）

则h数组有这样的性质：

证明：

如果h[i-1]<=1，则恒成立

所以考虑h[i-1]=k（k>1）时：

具体实现的时候其实没有必要保存h数组，只须按照h[1],h[2],……,h[n]的顺序计算即可，计算height数组C++代码实现：

void get_height()
{
    int k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(k)
            k--;
        int j=Sa[Rank[i]-1];
        while(str[i+k]==str[j+k])
            k++;
        height[Rank[i]]=k;
    }
    return ;
}