莫比乌斯反演

感觉网上写的都不太看得懂，自己重新写

先看看莫比乌斯函数（不用看得懂）

https://blog.sengxian.com/algorithms/mobius-inversion-formula

void sieve() {
    fill(isPrime, isPrime + maxn, 1);
    mu[1] = 1, num = 0;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i) {
        if (isPrime[i]) primes[num++] = i, mu[i] = -1;
        static int d;
        for (int j = 0; j < num && (d = i * primes[j]) < maxn; ++j) {
            isPrime[d] = false;
            if (i % primes[j] == 0) {
                mu[d] = 0;
                break;
            } else mu[d] = -mu[i];
        }
    }
}

关键是怎么用莫比乌斯反演的公式

关键是这两个式子

有时候你能算出f(n),却算不出g(n)！！！！！！（关键）

这时候就要用莫比乌斯反演

因为你已经知道你要求g(n),我们可以利用f(n)求,只要f,g满足第一个式子

还不太懂没事，我举两个例子

1.求 gcd == k 的个数

根据之前说的，要求gcd == k 就令 g(n) 为 gcd(i, j) = k 的个数

然后找到一个满足第一个式子的f(n)

比如说10以内 ，gcd 能整除2的个数就等于（ gcd == 2 的个数 + gcd == 4的个数 + gcd == 6的个数 + gcd == 8的个数 + gcd == 10的个数）

那这么说f(k) 就找到了 , f(k) 就是gcd 能整除k的个数，这样f 就是 g的求和，满足第一个式子

我们只需快速求出 f(k) = (n / k) * (m / k)

ll F(int n, int m, int d) {
    if (n > m) swap(n, m);
    ll ans = 0;
    n /= d, m /= d;
    for (int i = 1, last = 1; i <= n; i = last + 1) {
        last = min(n / (n / i), m / (m / i));
        ans += (ll)(sum[last] - sum[i - 1]) * (n / i) * (m / i);
    } 
    return ans;
}

2.gcd(i, j) 的幂