前缀和与差分

数列的前缀和： 
sum[i]表示a[1]~a[i]的和 
用处1：求i~j的和sum[j]-sum[i-1] 
用处2：区间修改。设置一个change数组。当区间[i,j]上要加k时，我们令change[i]+=k，令change[j+1]-=k。如果我们对change数组求前缀和的话，前缀和sum_change[i]就是i这个位置变动的值

树的前缀和有两种 
– 根路径前缀和sum2[i]，指i到根节点所有节点的权值之和。 
– 子树前缀和sum1[i]，指i的子树（包括i本身）所有节点的权值之和。

树的前缀和用处 
–根路径前缀和，可以用来求路径节点权值和（配合lca食用） 
–假如要求x到y路径的权值和，x,y的lca是z。则可以用sum[x]+sum[y]-2sum[z]+value[z] 
–子树前缀和，可以用来做路径修改（也得配合lca食用） 
–设定一个修改数组change。如果要对x到y路径上的所有点权值+k，lca为z。那么change[x]+=k，change[y]+=k，change[z]-=k，change[fa[z]]-=k。这样如果最后对change[i]求前缀和的话，最后得到的结果就是i权值的修改量 
–特点：可以O(1)修改，但是只能一次查询（因为要求前缀和O(n))

前缀和的使用不都是用来差分的？ 
二维数组的差分：Ans=sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1] 
二维数组的修改：用数组C存修改信息。在C[x1][y1]处加上a，在C[x2+1][y1]和C[x1][y2+1]处减a，在C[x2+1][y2+1]再加上a。 
最后(i,k)位置上变化的数值就是C数组在(i,k)位置的前缀和。 
基本就是 

树上差分经典思路 
①利用dfs序的时间戳，一个点拆成两个点，每次在in+1，在out-1，然后bit统计前缀和，资瓷动态修改和查询子树访问次数。用于子树打标记。 
②对于点x,y设r=lca(x,y)。在x+1,y+1,r-2，然后从所有叶节点往上累加。用于树链打标记，资瓷查询某条边的访问次数。 
③对于点x,y设r=lca(x,y)。在x+1,y+1,r-1,father[r]-1，然后从所有叶节点往上累加。用于树链打标记，资瓷查询某个点的访问次数。