2FSK在瑞利衰落信道下的相干与非相干解调误码率-MATLAB基带仿真

在基带上，2FSK看作两路正交信号：

$s_1=(\sqrt{\mathcal{E}},0)$
$s_2=(0,\sqrt{\mathcal{E}})$

相当于向量的两个位置代表两个频率。
MFSK请参考：MFSK调制与解调-MATLAB基带仿真

瑞利衰落信道
瑞利衰落信道的核心在于乘性衰落因子$h$：

h = (randn(2,L)+1j*randn(2,L))/sqrt(2);	% L为信号长度,两行表示信号为2维

其中$\sqrt{2}$为归一化系数，使得$h$方差为1。

这里解释几个问题：

Q：为什么$h$服从瑞利分布？
A：在此篇仿真中，我们认为信道不存在多普勒频移，即FDT=0，同时来波的方向是均匀分布且无穷多的，没有直射分量（若有直射分量，信道衰落系数变为莱斯分布），此时信道衰落系数可等效为瑞利分布。若要考虑多普勒频移的影响，需要建立时间选择性衰落信道，此篇文章方法不适用。

Q：为什么仿真中$h$的方差设置为1？
A：设AWGN信道下2FSK系统平均信噪比为$\frac{E_b}{N_0}$，则瑞利衰落信道下2FSK系统平均信噪比为

${\bar{\gamma }}_b=\frac{E_b}{N_0}E\left(h^2\right)$

为了公平地在一张图中比较2FSK系统在两种信道下的性能差异，要使得仿真中的横坐标，也就是平均信噪比相同，因此设置$h$的方差为1

$D(h^2)=E(h^2)-E^2(h)=E(h^2)-0=E(h^2)$

Q：为什么在仿真中，每一个发送符号都乘了不同的信道衰落系数，信道不是分快衰落和慢衰落吗？
A：实际上，一个相同的$h$持续几个符号，对仿真结果没有影响。我们考察的是统计误码率，只要统计样本足够多，结果是没有变化的。当然在实际问题中，需要考虑信道衰落的平坦与否。

简单评价一下：$h$和$n$对信号的影响有着本质的区别。后者是加性信号，前者是乘性信号，存在对原始信号的放缩作用，因此在利用门限进行判别星座点时，非常容易发生误判。对抗衰落信道的方法有很多，典型的方法有分集等。

相干调制与解调：

相干调制：

$r(t)=|h|\cdot s(t)+n(t)$

相干解调：

$\hat{s}(t)=\underset{1\le m\le M}{\mathrm{argmin}}\Vert r(t)-s_m(t){\Vert }_2^2$

2FSK在AWGN信道下的相干解调理论误比特率：

$P_{b,AWGN}=Q(\sqrt{\frac{{\mathcal{E}}_b}{N_0}})$

2FSK在瑞利衰落信道下的相干解调理论误比特率：

${\bar{\gamma }}_b=\frac{{\mathcal{E}}_b}{N_0}E\left(h^2\right)$
$P_b=\frac{1}{2}(1-\sqrt{\frac{{\bar{\gamma }}_b}{2+{\bar{\gamma }}_b}})$

非相干调制与解调：

非相干调制：

$r(t)=h\cdot s(t)+n(t)=|h|e^{j\varphi }\cdot s(t)$

其中$\varphi$服从在[0，2π]上的均匀分布。

非相干解调：

$\hat{s}(t)=\underset{1\le m\le M}{\mathrm{argmax}}|r(t)\cdot s_m(t)|$

2FSK在AWGN信道下的非相干解调理论误比特率：

$P_{b,AWGN}=\frac{1}{2}{e}^{-\frac{{\mathcal{E}}_b}{2N_0}}$

BPSK在瑞利衰落信道下的非相干解调理论误比特率：

${\bar{\gamma }}_b=\frac{{\mathcal{E}}_b}{N_0}E\left(h^2\right)$ $P_b=\frac{1}{2+{\bar{\gamma }}_b}$

仿真结果：

MATLAB基带仿真程序：

clc
clear
close all
% Title: 2FSK的在瑞利衰落信道下的相干与非相干检测误码率仿真 %
% Data:  2020.05.04 %
% Author: K.X.Song

L = 10000000;                % 蒙特卡洛仿真次数
data = round(rand(1,L));    % 生成长度为L的仿真数据
send = zeros(2,L);        % 预置调制后的发送数据，每列为一个符号，行表示M维信号。

% 2FSK调制
for q = 1:L
    if (data(q) == 1)
        send(1,q) = 1;
    else
        send(2,q) = 1;
    end
end
h = (randn(2,L)+1j*randn(2,L))/sqrt(2);         % 瑞利衰落信道系数

% 设置信噪比
EbN0_dB = 0:2:50;
EbN0 = 10.^(EbN0_dB/10);
Eb = 1;                 % 2FSK的每比特能量
N0 = Eb ./ EbN0;
error_coherent = zeros(1,length(EbN0_dB));
error_noncoherent = zeros(1,length(EbN0_dB));
ser_coherent = zeros(1,length(EbN0_dB));
ser_noncoherent = zeros(1,length(EbN0_dB));
tser_coherent_AWGN = zeros(1,length(EbN0_dB));
tser_coherent_fading = zeros(1,length(EbN0_dB));
tser_noncoherent_AWGN = zeros(1,length(EbN0_dB));
tser_noncoherent_fading = zeros(1,length(EbN0_dB));
for q = 1:length(EbN0_dB)
    detect_coherent = zeros(1,L);
    detect_noncoherent = zeros(1,L);
    noise_coherent = sqrt(N0(q)/2) * randn(2,L);                                % 相干调制噪声
    noise_noncoherent = (sqrt(N0(q)/2) + 1j * sqrt(N0(q)/2)) * randn(2,L);      % 非相干调制噪声
    receive_coherent = abs(h).*send + noise_coherent;                           % 瑞利衰落信道相干调制
    receive_noncoherent = h.*send + noise_noncoherent;                          % 瑞利衰落信道相干调制
    % 相干解调
    for w = 1:L
        if (receive_coherent(1,w) > receive_coherent(2,w))
            detect_coherent(w) = 1;                                 % argmin判决，相干解调
        end
        % 统计错误数
        if (detect_coherent(w) ~= data(w))
            error_coherent(q) = error_coherent(q) + 1;
        end
    end
    % 非相干解调
    for w = 1:L
        r_1 = abs(dot(receive_noncoherent(:,w),[1;0]));
        r_2 = abs(dot(receive_noncoherent(:,w),[0;1]));
        if (r_1 > r_2)
            detect_noncoherent(w) = 1;                                 % argmin判决，相干解调
        end
        % 统计错误数
        if (detect_noncoherent(w) ~= data(w))
            error_noncoherent(q) = error_noncoherent(q) + 1;
        end
    end
    ser_coherent(q) = error_coherent(q) / L;
    ser_noncoherent(q) = error_noncoherent(q) / L;
    % 2FSK在AWGN信道下相干解调理论误码率
    tser_coherent_AWGN(q) = qfunc(sqrt(EbN0(q)));
    % 2FSK在瑞利衰落信道下相干解调理论误码率
    tser_coherent_fading(q) = 1/2*(1-sqrt(EbN0(q)/(2+EbN0(q))));
    % 2FSK在AWGN信道下非相干解调理论误码率
    tser_noncoherent_AWGN(q) = 1/2*exp(-EbN0(q)/2);
    % 2FSK在瑞利衰落信道下相干解调理论误码率
    tser_noncoherent_fading(q) = 1/(2+EbN0(q));
end

% 画图
semilogy(EbN0_dB,ser_coherent,'o',EbN0_dB,ser_noncoherent,'o',EbN0_dB,tser_coherent_AWGN,'b',EbN0_dB,tser_noncoherent_AWGN,'m',EbN0_dB,tser_coherent_fading,'r',EbN0_dB,tser_noncoherent_fading,'k');
grid on;
xlabel('Eb/N0 (dB)');
ylabel('SER');
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