《数据结构与算法》——Floyd算法总结

《数据结构与算法》——Floyd算法总结

在考研中，图的应用部分有四个大考点分别为最小生成树、最短路径问题、拓扑排序以及关键路径。在最短路径问题中有两个小考点分别为Dijkstra算法和Floyd算法。在本文，将对Floyd算法进行知识总结、讲解以及c++代码呈现。

目录

《数据结构与算法》——Floyd算法总结

目的

算法思想

手动实例

C++代码实现

参考文献

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目的

为了求解一对顶点间的最短路径，我们可以用已知的Dijkstra算法，分别将两个顶点设置为起始点执行两次Dijkstra算法，然后从得出的dist和path数组中寻找相应值即可，若是求解所有顶点间的最短路径，则需要把每个顶点分别设置为起始点共执行|v|次Dijkstra算法，此时时间复杂度为o(|v|^3)。

为解决这个问题，弗洛伊德提出了另外一种算法，被称为Floyd算法。

算法思想

设定存在|v|个顶点，分别编号1、2、3…n

1.设定矩阵dist[0][][]用来保存初始直接距离arcs[][]，dist[0][i][j]表示第i个点到第j个点是否有直接连接，若有则将距离进行保存，若无联系则设置为INF(无穷大)。

2.试探地在ij两点之间添加k点，若加入k点之后距离i-k-j比直接到达的距离i-j要小，则将距离值进行更新保存，将所有的顶点对全部进行试探加入k点计算得出的数据组成dist[k][][]数组，对k进行增长式遍历直至k = n结束最后一次试探加点。

3.此时得出了|v|个|v|*|v|的矩阵，则此时在dist[k][i][j]中对于k从0到n进行遍历，选出最靠前的最小值即为i点到j点的最短距离，而此时在路径中k即为j点的前驱节点，若为零，则无中间节点。如此计算可得出path数组，此处和Dijkstra算法相同。

手动实例

教材191页图7.36 (a)

1.作出邻接矩阵

零	1	2	3
1	0	4	11
2	6	0	2
3	3	INF	0

2.dists[][][]数组赋值，并开始计算。

一	1	2	3
1	0	4	11
2	6	0	2
3	3	7	0

 

二	1	2	3
1	0	4	6
2	6	0	2
3	3	7	0

 

三	1	2	3
1	0	4	6
2	5	0	2
3	3	7	0

3.选出最短路径，填写dist和path数组。

dist	1	2	3
1	0	4	6
2	5	0	2
3	3	7	0

 

path	1	2	3
1	0	1	2
2	3	0	2
3	3	1	0

求解完毕。

C++代码实现

变量说明

dists[][][]：保存n个dist数组

dist[][]：保存最终的最短路径

path[]：保存最终的最短路径的前驱节点。

/*编译环境：
win10专业版
DEV C++ 5.11
TDM-GCC 4.9.2 64bit
*/
#include
#define INF 65535
#define Max 3
#define v Max+1
using namespace std;

int dists[v][v][v];//记录过程矩阵 
int dist[v][v];//记录最短路径 
int path[v][v];//记录路径
 
void Floyd(int G[][v],int n){
		
	//初始化dists
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++) 
			dists[0][i][j] = G[i][j];
		dists[0][0][i] = INF;
		dists[0][i][0] = INF;
	}
		
	
	//核心部分 
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		for(int j=1;j<=n;j++) 
			for(int k=1;k<=n;k++)
					dists[i][j][k] = (k==j)?0:(dists[i-1][j][k]>dists[i-1][j][i]+dists[i-1][i][k]?
									 dists[i-1][j][i]+dists[i-1][i][k] : dists[i-1][j][k]);
			/*	if(k==j)
					dists[i][j][k] = 0;
				else
					dists[i][j][k] = dists[i-1][j][k]>dists[i-1][j][i]+dists[i-1][i][k]?dists[i-1][j][i]+dists[i-1][i][k] : dists[i-1][j][k];
			*/
			
	//求dist和path
	int temp;
	int min; 
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(i == j){
				path[i][j] = -1;
				dist[i][j] = 0;
			}
			else{
				min = dists[0][i][j];
				temp = i;//直接连接最近 
				for(int k=1;k<=n;k++)//为了找出最小边 
					if (dists[k][i][j] < min){
						min = dists[k][i][j];
						temp = k;
					}
				path[i][j] = temp;
				dist[i][j] = min;	
			}			
}

int main(){
	int G[v][v];
	int n = Max;
	//需要对G初始化
	G[1][1] = 0 ;
	G[1][2] = 4 ;
	G[1][3] = 11 ;
	G[2][1] = 6 ;
	G[2][2] = 0 ;
	G[2][3] = 2 ;
	G[3][1] = 3 ;
	G[3][2] = INF ;
	G[3][3] = 0 ;
	Floyd(G,n);
	//输出  
	cout<<"初始G矩阵为："<

参考文献

严蔚敏，吴伟民. 数据结构（C语言版）[M]. 北京： 清华大学出版社，2013.

王道论坛 2019年数据结构考研复习指导[M]. 北京： 电子工业出版社，2018.

 

如有错误，还请朋友不吝指正。