涂色游戏

题目大意

n*m的网格图，有p种颜色可以涂，要求给网格图涂色使得任意相邻两列都满足以下条件：两列出现的颜色数至少为q。
求方案数

DP

设f(i,j)表示目前做了i列，最后一列有j种颜色。转移的话我们可以枚举新的一列有k种颜色，两列共有的颜色数为l，然后方案数为 g[n][k]∗Clj∗Ck−lp−j
后面的组合数很好理解，在j种颜色选出l种颜色作为两列的共有色，那么新的一列还有k-l种独有色需要在剩余的p-j种颜色重选取。同时，我们要记得保证q<=j+k-l<=p
g是啥？就是给n个格子用k种颜色涂色的方案数。
我们可以尝试把它当作斯特林数求解。
先不考虑颜色间的顺序，最后再乘个颜色排列数k!就可以了嘛，那么
g[n][k]=g[n−1][k]∗k+g[n−1][k−1]
于是我们得到了本题DP做法。

矩阵乘法优化

我们把上面转移时用一个辅助数组trans[j][k]表示，那么trans数组可以用刚刚讲的求解。
然后变成 f[i+1][k]=∑min(n,p)j=1f[i][j]∗trans[j][k]
矩阵乘法即可

#include
#include
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100+10,mo=998244353;
int f[2][maxn],g[maxn][maxn],c[maxn][maxn],trans[maxn][maxn],fac[maxn];
int a[maxn],b[maxn][maxn],d[maxn][maxn];
int sta[100];
int i,j,k,l,t,n,m,p,q,ans,now,mi,top;
int main(){
    freopen("color.in","r",stdin);freopen("color.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q);
    mi=min(n,p);
    c[0][0]=1;
    fo(i,1,100){
        c[i][0]=1;
        fo(j,1,100) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo;
    }
    fac[0]=1;
    fo(i,1,100) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mo;
    g[0][0]=1;
    fo(i,1,n)
        fo(j,1,min(i,p))
            g[i][j]=((ll)g[i-1][j]*j%mo+g[i-1][j-1])%mo;
    fo(j,1,mi) g[n][j]=(ll)g[n][j]*fac[j]%mo;
    fo(j,1,mi)
        fo(k,1,mi)
            fo(l,0,min(j,k))
                if (j+k-l>=q&&j+k-l<=p) (trans[j][k]+=(ll)g[n][k]*c[j][l]%mo*c[p-j][k-l]%mo)%=mo;
    now=1;
    fo(i,1,mi) f[now][i]=(ll)g[n][i]*c[p][i]%mo;
    fo(i,1,mi) a[i]=f[now][i];
    fo(i,1,mi) b[i][i]=1;
    m--;
    while (m){
        sta[++top]=m%2;
        m/=2;
    }
    while (top){
        fo(i,1,mi)
            fo(j,1,mi)
                d[i][j]=0;
        fo(k,1,mi)
            fo(i,1,mi)
                fo(j,1,mi)
                    (d[i][j]+=(ll)b[i][k]*b[k][j]%mo)%=mo;
        fo(i,1,mi)
            fo(j,1,mi)
                b[i][j]=d[i][j];
        if (sta[top]){
            fo(i,1,mi)
                fo(j,1,mi)
                    d[i][j]=0;
            fo(k,1,mi)
                fo(i,1,mi)
                    fo(j,1,mi)
                        (d[i][j]+=(ll)b[i][k]*trans[k][j]%mo)%=mo;
            fo(i,1,mi)
                fo(j,1,mi)
                    b[i][j]=d[i][j];
        }
        top--;
    }
    fo(i,1,mi) d[1][i]=0;
    fo(i,1,mi)
        fo(j,1,mi)
            (d[1][j]+=(ll)a[i]*b[i][j]%mo)%=mo;
    fo(i,1,mi) (ans+=d[1][i])%=mo;
    printf("%d\n",ans);
}