线段树区间取max黑科技

Preface

在训练中我们常常会遇到这样一种猥琐的数据结构操作：区间取 max ，即将区间内小于 lim 的数改成 lim 。在这里我做一些总结。
这里只讨论线段树，分块和其它数据结构类似。

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Text

Case 1

要求：兹瓷区间 max ，还有其它各种普通操作，查询区间和
特殊性：数值满足单调性
Solution：由于单调性，我们可以在线段树上二分出小于 lim 的区间，然后就变成了一个区间赋值（ set ）操作。

Case 2

要求：兹瓷区间 max ，区间加，查询极值

Algorithm 1

维护标记 up,add
一个数 x 真实值为 max(x+add,up)
∙ 区间 max ：
max(max(x+add,up),lim)=max(x+add,max(up,lim))
直接更新 up 标记即可
∙ 区间加
max(x+add,up)+delta=max(x+add+delta,up+delta)
更新 add 、 up 标记

Algorithm 2

还是相同的标记，不过 x 真实值为 max(x,up)+add
∙ 区间加
max(x,up)+add+delta=max(x,up)+(add+delta)
直接更新 add 标记
∙ 区间 max ：
max(max(x,up)+add,lim)=max(max(x,up),lim−add)+add=max(x,max(up,lim−add))+add
直接更新 up 标记
参考Werkeytom_FTD的blog：http://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/51077590

Case 3

要求：兹瓷区间 max ，查询区间和
没有特殊性
参考WC2016中C_Sunshine和jiry_2的课件《Segment tree Beats!》
维护最小值次小值乱搞，时间复杂度 log22 。