2020.1.4大一寒假训练五（GCD&&快速幂）

首先介绍一下一个无敌好用的IDE——vs code，这位布莱克精心编写了教程，感谢感谢，附上链接传送门。

Problem:A    最大公约数和最小公倍数（NEFU OJ 1077）

模板题。

#include 

using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int a,b;
    while(cin >> a >> b)
    {
        int ans;
        ans=__gcd(a,b);            //内置gcd真香
        cout << ans << " " << a/ans*b << endl;

    }
    return 0;
}

Problem:B    又见GCD（NEFU OJ 992）

核心思路：暴力，b是gcd，且b!=c，c一定大于b。

#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int a,b;
    while(cin >> a >> b)
    {
        for(int i=b+1;;i++)
        {
            if(__gcd(i,a)==b)
            {
                cout << i << endl;
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

Problem:C    多个数的最大公约数（NEFU OJ 764）

核心思路：两个两个数进行gcd，并把上一组的结果与下一个数gcd。

#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    LL a[15],n;
    while(cin >> n)
    {
        LL ans;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cin >> a[i];
        ans=__gcd(a[1],a[2]);
        for(int i=3;i<=n;i++)
            ans=__gcd(ans,a[i]);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

Problem:D    多个数的最小公倍数（NEFU OJ 765）

核心思路：同ProbleC，求lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b,可以避免爆数值。

#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    LL a[15],n;
    while(cin >> n)
    {
        LL ans;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cin >> a[i];
        ans=a[1]/__gcd(a[1],a[2])*a[2];
        for(int i=3;i<=n;i++)
            ans=ans/__gcd(ans,a[i])*a[i];
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

Problem:E    LCM&GCD（NEFU OJ 1411）

核心思路：暴力，（我同学写了一个跑了7ms，我写的500ms，后续我会再想想QAQ！！），本来我也以为暴力会超时，一直往gcd，lcm交并集想，然后wa了，后续我会继续验证。

我的暴力思路：利用性质从a到b循环，并添加判断条件。

#include 

using namespace std;
typedef long long LL;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    int t;
    while(cin >> t)
    {
        LL x,y;
        while(t--)
        {
            cin >> x >> y;
            LL ans=0,tmp,tmp2;
            tmp=x*y;                //lcm*gcd的性质
            for(LL i=x; i<=y; i++)
            {
                if(tmp%i==0)            //判定是否能整除
                {
                    tmp2=__gcd(i,tmp/i);
                    if(tmp2==x&&tmp/i<=y)//二次判断，是否符合gcd==x，lcm不用进行判断，因为tmp是x*y的乘积，可以自己去带入lcm的公式验证一下
                        ans++;
                }
            }
            cout << ans << endl;
        }
    }

    return 0;
}

Problem:F    人见人爱gcd（NEFU OJ 1221）（但是我真的是一点也不爱他呀QAQ！！）

核心思路：数学推导，如下图可见。

#include
using namespace std;
int t, a, b;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	while(scanf("%d", &t) != EOF)
	{
		while(t--)
		{
			scanf("%d%d", &a, &b);
			printf("%d\n", a*a-2*__gcd(a, b)*b);
		}
	}
	return 0;
}

Problem:G    高木同学的因子（NEFU OJ 1669）

核心思路：因子分解，具体事项在代码的注释中。

#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
    LL a,b;
    while(~scanf("%lld%lld",&a,&b))
    {
        LL sum=0;
        int ans=__gcd(a,b);            //计算他是因为gcd是取a，b的公共因子的
        for(int i=1;i*i<=ans;i++)      //计算一半就行
            if(ans%i==0)
                sum++;
        if(sqrt(ans)*sqrt(ans)==ans)    //中间的因子是不是sqrt()为整数        
            printf("%lld\n",2*sum-1);   //若是整数，×2就会多计算一次,例子在代码的最后面
        else                            
            printf("%lld\n",2*sum);
    }

    return 0;
}
//比如16 32的公共因子={1,2,4,8,16},sqrt(gcd(16,32))==4,他只能算一次，不能重复计算。

Problem:H    快速幂取模（NEFU OJ 601）

核心思路：模板题。

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

LL fastPow(LL a,LL n,LL c)
{
    LL base=a;
    LL res=1;
    const LL mod=c;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=(res*base)%mod;
        base=(base*base)%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    LL a,b,c;
    while(cin>> a >> b >> c)
    {
        LL ans;
        ans=fastPow(a,b,c);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

Problem:I    库特的数学题（NEFU OJ 1666）

核心思路：可以自己先暴力写一下，并打出几个连续的答案，自己就能找到规律。

先说说我是怎么想到的：题干中1<=n<=1e18，你要是写递推，显然数组不能开到1e18，所以你就要找规律。

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;
const LL M=1e9+7;
LL fastPow(LL a,LL n)            //快速幂取模的模板
{
    LL base=a;
    LL res=1;
    const LL mod=M;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=(res*base)%mod;
        base=(base*base)%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    LL n;
    while(cin >> n)
    {
        LL ans;
        ans=fastPow(3,n);
        cout << (2*ans)%M << endl;//别忘了再一次取模
    }
    return 0;
}

Problem:J    异或方程解的个数（NEFU OJ 1834）

这道题本来是ljw巨佬出来卡我们AK的，兴安家族让他失望了，QAQ。

核心思路：中午跟同学吃饭突发奇想想到的，我后续会证明一下，并更新。

一个蒟蒻写的证明，不知道对不对，不对的话请指正。

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

int fastPow(int a,int n)
{
    int base=a;
    int res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res*=base;
        base*=base;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    LL n;
    while(cin >> n)
    {
        int sum=0,ans;
        while(n)
        {
            if(n&1)
                sum++;
                n>>=1;
         }
        ans=fastPow(2,sum);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}