离散数学——树

树

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本人是新人，对树的概念还是不太清楚，故写个学习概念的文章，来帮助自己学习树这一数据结构。

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定义1.树是没有简单回路的连通无向图。
定理1.一个无向图是树当且仅当在它的每对顶点间存在唯一简单回路。
定义2.有根树是指一个顶点（指所有节点）作为根并且每条边的方向都离开根的树。

图片出处

关于孩子，父母与深度和高度什么的，用两张图就能解决的就不多赘述：

图片出处

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定义3.若有根树的每个内点（指除了叶之外的所有点）都有不超过m个孩子，则它为m叉树，若该树的每个内点都恰好有m个孩子，则称它为满m叉树。把m = 2的m叉树称为二叉树。

如第一幅图就是个二叉树。
下图就是个满二叉树：

图片出处

有序根树的每个内点的孩子都从左到右依次递增：

自己p的图

在有序二叉树中，左边的更小值称为左子，右边的较大值称为右子：

图片出处
注意，此树必须有序。

定理2.带有n个顶点的树含有n - 1条边。
定理3.带有i个内点的满m叉树含有n = m * i + 1个顶点。
ps：根是内点，除非它是图中唯一的顶点，在这种情况下，它也是叶。

定理4.一个满m叉树若有：
（i）n个顶点，则有i = (n-1) / m个内点和l = [(m-1) * n + 1] / m个叶；
（ii）i个内点，则有n = m * i + 1个顶点和l = (m-1) * i + 1个叶；
（iii）l个树叶，则有n = (m * l - 1) / (m - 1)个顶点和i = (l - 1) / (m - 1)个内点；

平衡m叉树：表示某树T的所有叶大约在同一层上（+-1）：

图片出处
这就是一个平衡二叉树，因为它的所有叶都在2层与3层上。
同理一个满二叉树也是个平衡二叉树。

在m叉树中叶数的界：常常用到m叉树中叶树的上界。定理5用m叉树的高度给出了一个这样的界。

定理5.在高度为h的m叉树中最多有m^h个叶；

推论1.若一颗高度为h的m叉树带有l个叶，则h >= 向上取整logm(l)。若这棵树是满的和平衡的，则h = 向上取整logm(l)。

参考资料：
《离散数学及其应用(第七版)》