一个博弈游戏,据说智商130才看的懂

博弈论是一门非常有意思的学问,之前小灰曾经分享过两个著名的博弈场景:囚徒困境和智猪博弈。

今天,我们来介绍一个更加烧脑的博弈游戏:硬币游戏

游戏规则

小灰和大黄都有若干块糖果。有一天大黄提议和小灰玩一个游戏。这是个什么游戏呢?规则很简单:

首先,他们各自拿出一枚硬币,并同时亮出

  • 如果同为正面,大黄给小灰3块糖果

一个博弈游戏,据说智商130才看的懂_第1张图片

  • 如果同为反面,大黄给小灰1块糖果

    一个博弈游戏,据说智商130才看的懂_第2张图片

  • 如果是一正一反,小灰给大黄2块糖果

    一个博弈游戏,据说智商130才看的懂_第3张图片

    一个博弈游戏,据说智商130才看的懂_第4张图片

经过若干轮游戏,小灰的糖果都被大黄赢走了......

一个博弈游戏,据说智商130才看的懂_第5张图片

概率里的陷阱

为什么会发生这样的事情呢?我们可以好好探究一下这个问题。让我们试试看用一个表格表示小灰的收入:

↓ 小灰的选择 → 大黄的选择 亮正面 亮反面
亮正面 3 -2
亮反面 -2 1

乍一看每种情况出现的概率都是 ,因此这个游戏似乎是极其公平的?那么是因为小灰运气不好呢?不不不,这个游戏里,其实包含着一个隐蔽 的漏洞:

如果是随机的抛硬币,那么每种情况出现的概率的确是 ,但是不要忘了,这个游戏的规则不是随机的抛硬币,我们可以主观选择自己亮出的硬币是正面还是反面,就像在玩“石头剪子布”一样。

我们假设大黄出正面的概率为p,小灰出正面的概率为  ,那么我们可以得到下图:

一个博弈游戏,据说智商130才看的懂_第6张图片

左图表示大黄,右图表示小灰

可以看到,此时 表示大黄出正面的概率, 表示大黄出反面的概率, 表示小灰出正面的概率,而 表示小灰出反面的概率。

以此为基础,很容易计算出:

  • 两人同时出正面的概率是 pq , 小灰的收获是3

  • 两人同时出反面时的概率是(1-p)(1-q) , 小灰的收获是1

  • 小灰出正面,大黄出反面的概率是(1-p)q , 小灰的收获是-2

  • 小灰出反面,大黄出正面的概率是p(1-q) , 小灰的收获是-2

我们用一个字母 表示小灰的预期收获,那么 的值为:

(也就是把他们加在一起了)

简化之得:

下面的分析会比较烧脑,涉及到含参数不等式以及减函数的知识,一次看不明白的小伙伴可以多看几遍。

求解方程

大黄想要赢小灰,就要使小灰的收入 小于 ,我们可以列出不等式:

把 的值代入,即:

大黄无法修改小灰的 值,但是他却能修改自己的 值,因此我们要求的就是 值的解集。把原式当做一个未知数为  的含参数不等式,先将参数项移至右面,把未知数项放在左面

合并同类项可得到:

对于一个含参数的不等式,我们要进行分类讨论:

  • 当参数>0时(两边同时除以参数,不等式符号不变)

  • 当参数<0时(两边同时除以参数,不等式符号改变)

  • 当参数=0时(原式有任意解)

    上面所说的参数,是指 8q-3 这一项

注:由于 在这里表示一个概率,因此 的取值范围一定只有 ,也就是说,当 为任意解时, 也仅仅只对任意的 成立。

对于上面参数不等式的三种情况,让我们分别进行具体讨论:

情况A,当参数大于0,即 , 时:

(不等式符号不变)

当定义域为 时,有函数

对应的函数图像为

一个博弈游戏,据说智商130才看的懂_第7张图片

将其不断放大,直到 的定义域为 ,发现函数图像的曲线是向下的:

一个博弈游戏,据说智商130才看的懂_第8张图片

也就是说,这是一个减函数,其定义域上的任何自变量 都有对应的 。

为了保证(在q的定义域内)不等式成立,p必须小于f(1),也就是 时,原式成立。

情况B,当参数小于0,即 , 时:

(不等式符号相反)

当定义域为 时,函数 为一个减函数,具体的函数图像可以看下图:

一个博弈游戏,据说智商130才看的懂_第9张图片

虽然它的曲线和刚才略有不同,不过仍然符合减函数的定义。

为了保证在(q的定义域内)不等成立,p必须大于f(0),也就是 时,原式成立。

情况C,当参数等于0,即 , 时:

(任意解)

(仍然符合 )

我们把情况A、情况B、情况C当中p的取值范围求一个交集,最终得出:当大黄把亮正面的概率 控制在 时,小灰一定会输。

应用场景

这个游戏远远不止于此,其实它还能应用到生活中的很多场景里。我们以炒股为例子,把大黄想象成庄家,把亮正面想成做空,亮反面想成做多,那么在这个由庄家掌握的局面下,很显然投资者(也就是小灰)一定是会吃亏的。因此,请远离炒股,炒股有风险,投资需谨慎。

这个博弈论的问题就讲解到这里,谢谢阅读!

投稿作者:王乙堃

编辑整理:小灰

需要特别说的的是,王乙堃同学年仅12岁,在读小学六年级,能写出这样的文章真的很了不起,非常感谢他的投稿!

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