二分搜索树(Binary Search Tree) 笔记总结—— C++
查找问题的基础：二分查找法（对于有序数列，才能用二分查找法）
二分查找法：对于一个有序数组，我们想查找某一元素，先查看数组中间元素 v ，若 v 等于我们想查找的元素，那么我们找到了，否则的话，整个数组就被 v 这个元素分成了两个部分，小于 v 和大于 v 的部分，如果我们查找的元素是比 v 小的，我们就在小于 v 的这部分继续查找，要是比 v 大，就在大于 v 的部分查找。
二分查找法时间复杂度：O(log n)
代码：
//二分查找法,在有序数组arr中,查找target
//如果找到target,返回相应的索引index
//如果没有找到target,返回-1
template
int binarySearch(T arr[], int n, T target){
// 在arr[l...r]之中查找target
int l = 0, r = n-1;
while( l <= r ){
//int mid = (l + r)/2;要考虑溢出情况
int mid = l + (r-l)/2;
if( arr[mid] == target )//中间元素就是要寻找的元素
return mid;
if( arr[mid] > target )
r = mid - 1;
else
l = mid + 1;
}
//找到会在前面提前 return ，没找到才会执行到这里
return -1;
}
// 用递归的方式写二分查找法
template
int binarySearch2(T arr[], int l, int r, T target){
if( l > r )
return -1;
int mid = (l+r)/2;
if( arr[mid] == target )
return mid;
else if( arr[mid] > target )
return binarySearch2(arr, 0, mid-1, target);
else
return binarySearch2(arr, mid+1, r, target);
}
二分搜索树的优势：
1.高效，不仅可查找数据，还可以高效的插入，删除数据-动态维护数据
2.可以方便地回答很多数据间地关系问题：min max floor ceil rank select
二分搜索树定义：1.是二叉树；2.每个节点的键值大于左孩子，小于右孩子；3.以左右孩子为根的子树仍为二分搜索树
注意：二分搜索树不一定是完全二叉树
代码：
// key 是键相应的类型，value 是值相应的类型
template
class BST{
private:
//节点结构体
struct Node{//存储 key value 左右孩子
Key key;
Value value;
Node *left;
Node *right;
//结点的构造函数
Node(Key key, Value value){
this->key = key;
this->value = value;
this->left = this->right = NULL;
}
};
Node *root;//指向根部的节点
int count;//记录存储多少数据
// 向以 node 为根的二叉搜索树中,插入节点(key, value)
// 返回插入新节点后的二叉搜索树的根
Node* insert(Node *node, Key key, Value value){
// 递归到底，最基本的情况
if( node == NULL ){
count ++;
return new Node(key, value);
}
//先检查一下 key 是否等于 node 对应的 key
//等于的话相当于更新
if( key == node->key )
node->value = value;
//如果 key 小于 node 对应的 key
//向 node 的左子树相应的插入 (key, value)
//插入之后返回结果的这个根就应该返回给 node 的左子树
else if( key < node->key )
node->left = insert( node->left , key, value);
else // key > node->key
node->right = insert( node->right, key, value);
//返回节点本身
return node;
}
// 在以node为根的二叉搜索树中查找key所对应的value
Value* search(Node* node, Key key){
if( node == NULL )
return NULL;
if( key == node->key )
return &(node->value);
else if( key < node->key )
return search( node->left , key );
else // key > node->key
return search( node->right, key );
}
public:
BST(){
root = NULL;
count = 0;
}
~BST(){
// TODO: ~BST()
}
int size(){
return count;
}
bool isEmpty(){
return count == 0;
}
//插入操作
//将插入数据与根比较
//若数据小于根，尝试将数据插入到根的左子二叉树中
//若数据大于根，尝试将数据插入到根的右子二叉树中
//将左孩子或右孩子当作根，继续尝试插入
//直到出现与数据比较的孩子为空孩子时，将数据放到该位置
//若数据已存在，将原先数据用新的数据覆盖
void insert(Key key, Value value){
//向以 root 为根的二叉树插入 （key，value）这个数据对
//返回值为插入这个节点后得到的搜索树的根
root = insert(root, key, value);
}
//查找操作
// 查看以 node 为根的二叉搜索树中是否包含键值为 key 的节点
bool contain(Node* node, Key key){
//递归到底
if( node == NULL )
return false;
if( key == node->key )
return true;
else if( key < node->key )
return contain( node->left , key );
else // key > node->key
return contain( node->right , key );
}
Value* search(Key key){
return search( root , key );
}
};
二分搜索树的深度优先遍历：
前序遍历：先访问当前节点，再依次递归访问左右子树
中序遍历：先递归访问左子树，再访问自身，再递归访问右子树
（打印出来的数据从小到大排序，原因是左子树 < 根节点 < 右子树）
后序遍历：先递归访问左右子树，再访问自身节点
前序遍历实现：访问顺序如下，若访问到左边的圆点，则将数据打印
打印结果为 28 16 13 22 30 29 42
中序遍历实现：访问顺序如下，若访问到中间的圆点，则将数据打印
打印结果为 13 16 22 28 29 30 42
后序遍历实现：访问顺序如下，若访问到右边的圆点，则将数据打印
打印结果为 13 22 16 29 42 30 28
代码：
template
class BST{
private:
。
。
。
// 对以node为根的二叉搜索树进行前序遍历
void preOrder(Node* node){
if( node != NULL ){
cout<key<left);
preOrder(node->right);
}
}
// 对以node为根的二叉搜索树进行中序遍历
void inOrder(Node* node){
if( node != NULL ){
inOrder(node->left);
cout<key<right);
}
}
// 对以node为根的二叉搜索树进行后序遍历
void postOrder(Node* node){
if( node != NULL ){
postOrder(node->left);
postOrder(node->right);
cout<key<left );
destroy( node->right );
delete node;
count --;
}
}
public:
。
。
。
// 前序遍历
void preOrder(){
preOrder(root);
}
// 中序遍历
void inOrder(){
inOrder(root);
}
// 后序遍历
void postOrder(){
postOrder(root);
}
};
二分搜索树的广度优先遍历（层序遍历）：
引入队列的概念（元素先进先出，后进后出）
操作：元素入队，出队时将其左右孩子入队，持续这个循环，直到队列为空。
注意：开始时将根元素入队；若没有孩子时，跳过孩子入队部分，接着下个元素出队
代码：
#include
#include
using namespace std;
template
class BST{
private:
。
。
。
public:
。
。
。
// 层序遍历，引入队列 #include 头文件
void levelOrder(){
//声明队列 q ，存放的是 Node* 这样的对象
queue q;
//入队根节点
q.push(root);
while( !q.empty() ){
//取出队首元素
Node *node = q.front();
//令队首元素出队
q.pop();
//将 node 元素的键值打印出来
cout<key<left )
q.push( node->left );
//有右孩子，右孩子入队
if( node->right )
q.push( node->right );
}
}
};
二分搜索树 删除最大值最小值节点：
1.删除最小值：从根节点开始，不停的沿着它的左孩子的方向查找，直到有一个节点再也没有左孩子，那么这个节点一定就是这棵二分搜索树的最小值
2.删除最大值：从根节点开始，不停的沿着它的右孩子的方向查找，直到有一个节点再也没有右孩子，那么这个节点一定就是这棵二分搜索树的最大值
代码：
template
class BST{
private:
。
。
。
// 在以node为根的二叉搜索树中,返回最小键值的节点
Node* minimum(Node* node){
if( node->left == NULL )
return node;
return minimum(node->left);
}
// 在以node为根的二叉搜索树中,返回最大键值的节点
Node* maximum(Node* node){
if( node->right == NULL )
return node;
return maximum(node->right);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
Node* removeMin(Node* node){
//如果其有右孩子，左孩子为空
//则将其右孩子代替删除的节点，成为这个已经被删除节点的父节点的新的左孩子
if( node->left == NULL){
Node* rightNode = node->right;
delete node;
count --;
return rightNode;
}
node->left = removeMin(node->left);
return node;
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
Node* removeMax(Node* node){
if( node->right == NULL ){
Node* leftNode = node->left;
delete node;
count --;
return leftNode;
}
node->right = removeMax(node->right);
return node;
}
public:
。
。
。
// 寻找最小的键值
Key minimum(){
//保证二叉树不为空
assert( count != 0 );
Node* minNode = minimum( root );
return minNode->key;
}
// 寻找最大的键值
Key maximum(){
assert( count != 0 );
Node* maxNode = maximum(root);
return maxNode->key;
}
// 从二叉树中删除最小值所在节点
void removeMin(){
if( root )
root = removeMin( root );
}
// 从二叉树中删除最大值所在节点
void removeMax(){
if( root )
root = removeMax( root );
}
};
二分搜索树 删除任意指定节点：
操作：
1.删除只有左孩子的节点：删除该节点，并让该节点的左孩子代替其成为其父节点的孩子
2.删除只有右孩子的节点：删除该节点，并让该节点的右孩子代替其成为其父节点的孩子
3.删除既有左孩子又有右孩子的节点 d ：(左子树最大节点也可以)
- 找到右子树中最小节点 s = min(d-right) 作为 d 的后继
- 调用delMin() 函数，将 s 这个节点从原来的子树上删除掉
- s 节点的右边指向原来节点的右子树， s->right =delMin(d->right)
- s 节点的左孩子就是 d 的左孩子
- delete d ，s 成为新子树的根
代码：
template
class BST{
private:
struct Node{
。
。
。
Node(Node *node){
this->key = node->key;
this->value = node->value;
this->left = node->left;
this->right = node->right;
}
};
。
。
。
// 删除掉以node为根的二分搜索树中键值为key的节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
Node* remove(Node* node, Key key){
if( node == NULL )
return NULL;
if( key < node->key ){
node->left = remove( node->left , key );
return node;
}
else if( key > node->key ){
node->right = remove( node->right, key );
return node;
}
else{ // key == node->key
//只有右孩子
if( node->left == NULL ){
Node *rightNode = node->right;
delete node;
count --;
return rightNode;
}
if( node->right == NULL ){
Node *leftNode = node->left;
delete node;
count--;
return leftNode;
}
// node->left != NULL && node->right != NULL
//successor 为删除节点的后继
//将 node 右子树中的最小值复制一份，所以要在 node 结构体中创建一个新的构造函数
Node *successor = new Node(minimum(node->right));
//创建了一个新的节点，所以要维护一下 count
count ++;
successor->right = removeMin(node->right);
successor->left = node->left;
delete node;
count --;
return successor;
}
}
public:
。
。
。
// 从二叉树中删除键值为key的节点
void remove(Key key){
root = remove(root, key);
}
};
二分搜索树的局限性：一组数据，可对应不同的二分搜索树，导致其可能退化成链表
优化：平衡二叉树：节点左右子树高度的差不超过 1，典型的一种实现为红黑树
红黑树：创新地将节点分为了两类节点，一类叫作红色节点，一类叫作黑色节点
在插入或者删除中将考虑这个节点地颜色进行一系列的改变