偏微分方程 - 基本概念
基本概念
一本书的学习笔记 陆金甫&关治, 偏微分方程数值解, 第3版
几个典型方程
Laplace算子
Δ = ∂ 2 ∂ x 1 2 + ∂ 2 ∂ x 2 2 + ⋯ + ∂ 2 ∂ x n 2 \Delta= \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} Δ=∂x12∂2+∂x22∂2+⋯+∂xn2∂2
记
∇ = e 1 ∂ 2 ∂ x 1 2 + e 2 ∂ 2 ∂ x 2 2 + ⋯ + e n ∂ 2 ∂ x n 2 \nabla= \bm{e}_1\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \bm{e}_2\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \bm{e}_n\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} ∇=e1∂x12∂2+e2∂x22∂2+⋯+en∂xn2∂2
其中 e i \bm{e}_i ei是 R n \mathbb{R}^n Rn中坐标轴正向的单位向量, 有 Δ = ∇ ⋅ ∇ \Delta = \nabla \cdot \nabla Δ=∇⋅∇.
1. Laplace方程
Δ u = 0 \Delta u = 0 Δu=0
其中 u = u ( x ) u=u(x) u=u(x)称为调和函数.
2. Cauchy-Riemann方程组
调和函数 u ( x , y ) u(x, y) u(x,y)存在共轭调和函数 v ( x , y ) v(x, y) v(x,y), 它们满足方程组:
{ ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y = ∂ v ∂ x \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∂x∂u=∂y∂v∂y∂u=∂x∂v
3. Poisson方程
− Δ u = f ( x ) -\Delta u = f(x) −Δu=f(x)
其中 u = u ( x ) u=u(x) u=u(x).
4. 波动方程
∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 Δ u + F ( x , t ) \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\Delta u + F(x, t) ∂t2∂2u=a2Δu+F(x,t)
其中 u = u ( x , t ) u=u(x, t) u=u(x,t)
5. 扩散方程&传热方程
∂ u ∂ t = ∂ ∂ x 1 ⟮ k 1 ∂ u ∂ x 1 ⟯ + ⋯ + ∂ ∂ x n ⟮ k n ∂ u ∂ x n ⟯ + F ( x , t ) \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x_1}\lgroup k_1 \frac{\partial u}{\partial x_1}\rgroup + \cdots + \frac{\partial}{\partial x_n}\lgroup k_n \frac{\partial u}{\partial x_n}\rgroup + F(x, t) ∂t∂u=∂x1∂⟮k1∂x1∂u⟯+⋯+∂xn∂⟮kn∂xn∂u⟯+F(x,t)
其中 u = u ( x , t ) u=u(x, t) u=u(x,t)是扩散过程中某物质的浓度或温度, 系数 k i = k i ( x ) > 0 k_i=k_i(x)>0 ki=ki(x)>0称为扩散系数或热传导系数.
波动方程4和扩散方程&传导方程5中, 如果 F = F ( x ) F=F(x) F=F(x), u u u与时间无关, 则方程转化为Poisson方程3的形式, 与时间无关的情形称为定常情形.
上述方程2为一阶方程组, 其它方程均为二阶.
6. 对流扩散方程 在n=2的情形
∂ u ∂ t + a ∂ u ∂ x + b ∂ u ∂ y = k Δ u + F \frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} = k\Delta u + F ∂t∂u+a∂x∂u+b∂y∂u=kΔu+F
为水平面上的对流扩散方程, 其中 u = u ( x , y , t ) u=u(x, y, t) u=u(x,y,t)表示流场中的某种物质的浓度, a ∂ u ∂ x + b ∂ u ∂ y a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} a∂x∂u+b∂y∂u称对流项, 其中 ( a , b ) (a, b) (a,b)是流速, k Δ u k\Delta u kΔu为扩散项, k > 0 k > 0 k>0是扩散系数. .
7. 对流方程 如果对流扩散方程6中没有扩散项(即 k = 0 k=0 k=0), 方程为对流方程, n = 1 n=1 n=1时的对流方程为
∂ u ∂ t + a ∂ u ∂ x = F \frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x}=F ∂t∂u+a∂x∂u=F
其中 u = u ( x , t ) u=u(x, t) u=u(x,t), F = F ( x , t ) F=F(x, t) F=F(x,t).
8. 重调和方程
Δ 2 u = 0 \Delta^2 u=0 Δ2u=0
其中 u = u ( x ) u=u(x) u=u(x) , 在 , 在 ,在n=2$时, u = u ( x , y ) u=u(x, y) u=u(x,y), 且
Δ 2 = ⟮ ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ⟯ 2 = ∂ 4 ∂ x 4 + 2 ∂ 4 ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 ∂ y 4 \Delta^2 = \lgroup \frac{\partial ^2}{\partial x ^2 } + \frac{\partial ^2}{\partial y ^2 } \rgroup ^2 = \frac{\partial ^4}{\partial x ^4 } + 2\frac{\partial ^4}{\partial x ^2\partial y ^ 2 } + \frac{\partial ^4}{\partial y ^4 } Δ2=⟮∂x2∂2+∂y2∂2⟯2=∂x4∂4+2∂x2∂y2∂4+∂y4∂4
它是一个4阶方程, 也称双调和方程…
上述方程对于未知函数 u , v u, v u,v及其各阶导数都是线性的, 下列为非线性方程.
9. 二维定常, 绝热, 无旋及等熵流 速度势 ϕ = ϕ ( x , y ) \phi=\phi(x, y) ϕ=ϕ(x,y)满足方程
( 1 − c − 2 ϕ x 2 ) ϕ x x = 2 c − 2 ϕ x ϕ y ϕ x y + ( 1 − c − 2 ) ϕ y y = 0 (1-c^{-2}\phi_x^2)\phi_{xx} = 2c^{-2}\phi_x\phi_y\phi_{xy} + (1-c^{-2})\phi_{yy}=0 (1−c−2ϕx2)ϕxx=2c−2ϕxϕyϕxy+(1−c−2)ϕyy=0,
其中 ( ϕ x , ϕ y ) (\phi_x, \phi_y) (ϕx,ϕy)是速度向量, 其模 q = ϕ x 2 + ϕ y 2 q = \sqrt {\phi_x^2 + \phi_y^2} q=ϕx2+ϕy2, c c c是 q q q的函数, 例如, 对某种满足状态方程
p = A ρ T p = A\rho^T p=AρT
的气体, 有
c 2 = 1 − γ − 1 2 q 2 c^2 = 1 - \frac{\gamma-1}{2}q^2 c2=1−2γ−1q2
其中 ρ \rho ρ是密度, p p p是压力.
10. Navier-Stokes方程组 描述三维不可压缩流动的方程组
{ ∂ u i t + ∑ k = 1 3 ∂ u i ∂ x i = − 1 ρ ∂ p ∂ x i + v Δ u i i = 1 , 2 , 3 ∑ k = 1 3 ∂ u k ∂ x k = 0 , \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial u_i}{t} + \sum_{k=1}^{3} \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + v\Delta u_i \qquad i=1, 2, 3\\ &\sum_{k=1}^{3}\frac{\partial u_k}{\partial x_k} = 0, \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧t∂ui+k=1∑3∂xi∂ui=−ρ1∂xi∂p+vΔuii=1,2,3k=1∑3∂xk∂uk=0,
其中, u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) u = (u_1, u_2, u_3) u=(u1,u2,u3)为速度, p p p为压力, ρ \rho ρ为密度, 都与 x , t x, t x,t有关, v v v为黏滞系数.
定解问题
n n n阶常微分方程通常可以写成依赖于 n n n个任意常数的通解形式, 但对于偏微分方程, 一般很难给出通解形式, 一般都是在特定条件下求方程的解, 这样的条件称为定解条件. 常见的定解条件有:
- 边界条件: 在给定区域 Ω \Omega Ω的边界 ∂ Ω \partial \Omega ∂Ω上给出的条件
- 初始条件: 在包含时间变量 t t t的问题中, 在超平面 t = t 0 t=t_0 t=t0给出的条件
- …
给定了方恒和定解条件, 就构成了一个定解问题. 常见的有
- 边值问题, 即给定边界条件的定解问题
- 初边值问题, 即给定初始条件和边界条件的定解问题
- …
解的性质:
- 存在性
- 唯一性
- 稳定性: 对于定解条件的原始资料(或自由项 F F F)有微小变化时, 在某种意义下, 解也仅有微小的变化
- 适应性: 存在性+唯一性+稳定性
二阶方程
二阶拟线性方程
- 椭圆型方程
- 抛物型方程
- 超双曲型
两个自变量的二阶拟线性方程
特征曲线, 特征方程, 特征方向
- 第一类边界条件(Dirchlet边界条件)
- 第二类边界条件(Neumann边界条件)
- 第三类边界条件
线性方程
一阶方程组
一阶拟线性方程组
线性方程组
椭圆型的
双曲型的
特征曲线, 特征方程