【BZOJ3209】花神的数论题（数位DP）

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大致题意： 设$sum(i)$表示$i$二进制中1的个数，请求出${\prod }_{i=1}^{n}sum(i)$。

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数位$DP$

很显然，这是一道数位$DP$题。我们可以先将$n$转化为二进制，然后DP预处理，最后求答案。

设$f[i][j]$表示当前数字的1~$i$位中共有$j$个1，这可以得到转移方程：

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];

初始时将全部$f[i][0]$赋值为1。

然后我们就能发现，这样子我们就相当于求出了一个杨辉三角形。

最后，再对$sum(i)$的每一种可能值依次进行操作，求出有多少个数在二进制下有$i$个1，再用快速幂将其累乘即可求出答案。

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代码

#include
#define LL long long
#define YKH 10000007
using namespace std;
LL n,ans=1ll,tot,num[100],f[100][100];
inline char tc()
{
    static char ff[100000],*A=ff,*B=ff;
    return A==B&&(B=(A=ff)+fread(ff,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(LL &x)
{
    x=0;LL f=1;char ch;
    while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;
    while(x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc()));
    x*=f;
}
inline void write(LL x)
{
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
inline LL quick_pow(LL x,LL y)//快速幂
{
    LL res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) (res*=x)%=YKH;
        (x*=x)%=YKH,y>>=1;
    }
    return res;
}
inline LL doing(LL x)//求出二进制下含有i个1的数的个数，利用了先前求出的杨辉三角形
{
	LL sum=0;//统计个数
	for(register LL i=tot;i>0;--i)
	{
		if(num[i]) sum+=f[i-1][x--];//判断该位是否为1
		if(x<0) return sum;//如果x小于0，返回sum
	}
	return sum;
}
int main()
{
    register LL i,j;LL w;
    for(read(n),w=n+1,tot=0;w;num[++tot]=w&1,w>>=1);
    for(i=0;i<=tot;++i) f[i][0]=1;
    for(i=1;i<=tot;++i)//预处理出一个杨辉三角形
    	for(j=1;j<=i;++j)
    		f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
    for(i=1;i<=tot;++i)
        (ans*=quick_pow(i,doing(i)))%=YKH;//求出答案，并累乘
    return write(ans),0;
}