Codechef Union on Tree
https://www.codechef.com/problems/BTREE
简要题意:
- 给你一棵树，\(Q\)次询问，每次给出一个点集和每个点的\(r_i\)，每个点可以覆盖距离小于等于\(r_i\)的点。
- 问有多少点会被覆盖。
分析:
- 建出虚树，然后我们做两边\(dp\)把所有点的\(r_i\)更新成从这个点能覆盖的最远距离或从其他点出来经过这个点后能够覆盖的最远距离。
- 这样做的好处是对于一条边\((x,y)\)，一定存在一个点\(z\)，使得\(y\)更新\(z\)比\(x\)优。
- 于是可以计算答案，令\(F(x,d)\)为和\(x\)距离小于等于\(d\)的点数。
- 答案等于\(\sum\limits_iF(i,r_i)-\sum\limits_{x,y,p\in x,p\in y}1\)。 前面那个直接求就行了。
- 后面那个相当于找到这个\(z\)，设\(x\)是\(y\)的祖先，有多个点在\(z\)上边被\(y\)包含，有多少点在\(z\)下边被\(x\)包含。
- 由于\(r_x-(dep_z-dep_x)=r_y-(dep_y-dep_z)\)，可以确定\(z\)的位置，同时可以发现所求的点向上下延伸的长度是相等的，于是相当于求\(F(z,r_x-(dep_z-dep_x))\) 。
- 求\(F\)可以用动态点分治。
- 还有一个问题，可能不存在\(z\)这个点，可能在边上，我们一开始把边也当成点就好了。
代码:
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 100050
char buf[100000],*p1,*p2;
#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
inline int rd() {int x=0;char c=nc(); while(c<48)c=nc();while(c>47)x=((x+(x<<2))<<1)+(c^48),c=nc(); return x;}
#define db(x) cerr<<#x<<" = "<V[N][2];
inline void add(int u,int v) {to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt;}
void gr(int x,int y) {
int i; siz[x]=1; fk[x]=0;
for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=y&&!used[to[i]]) {
gr(to[i],x); siz[x]+=siz[to[i]]; fk[x]=max(fk[x],siz[to[i]]);
}
fk[x]=max(fk[x],tot-siz[x]); if(fk[x]siz[x]) tot=al-siz[x]; root=0; gr(to[i],x); solve(root);
}
}
int query(int x,int o,int v) {if(!x) return 0; if(v>int(V[x][o].size())-1) return sz[x]; return V[x][o][v];}
int work(int x,int v) {if(v<0)return 0;int i,re=0; for(i=dep[x];i;i--) if(v>=dis[x][i]) re+=query(fa[x][i],0,v-dis[x][i])-query(fa[x][i+1],1,v-dis[x][i]); return re;}
void d1(int x,int y) {
f[x]=y,d[x]=d[y]+1,siz[x]=1;int i;
for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=y) {
d1(to[i],x),siz[x]+=siz[to[i]];
if(siz[to[i]]>siz[son[x]]) son[x]=to[i];
}
}
void d2(int x,int t) {
top[x]=t; dfn[x]=++dfn[0]; idf[dfn[0]]=x; if(son[x]) d2(son[x],t); int i;
for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=f[x]&&to[i]!=son[x]) d2(to[i],to[i]);
}
int lca(int x,int y) {for(;top[x]!=top[y];y=f[top[y]]) if(d[top[x]]>d[top[y]]) swap(x,y); return d[x]t;x=f[top[x]]); return idf[dfn[x]-(d[x]-t)];}
inline bool cmp(const int &x,const int &y) {return dfn[x]=d[S[tp-1]]) {
add(y,S[tp]); tp--;
if(S[tp]!=y) S[++tp]=y;
break;
}
add(S[tp-1],S[tp]); tp--;
}
if(S[tp]!=x) S[++tp]=x;
}
while(tp>1) add(S[tp-1],S[tp]),tp--;
lm=0; d3(1);
for(i=lm;i>1;i--) r[ff[p[i]]]=max(r[ff[p[i]]],r[p[i]]-(d[p[i]]-d[ff[p[i]]]));
for(i=2;i<=lm;i++) r[p[i]]=max(r[p[i]],r[ff[p[i]]]-(d[p[i]]-d[ff[p[i]]]));
for(i=1;i<=lm;i++) ans+=work(p[i],r[p[i]]);
for(i=2;i<=lm;i++) {
x=p[i],y=ff[x];
int z=jmp(x,(d[x]-r[x]+d[y]+r[y])>>1);
ans-=work(z,r[x]-(d[x]-d[z]));
}
printf("%d\n",ans);
for(i=1;i<=lm;i++) vis[p[i]]=0;
}
}