社区发现算法（三）

派系过滤CPM方法(clique percolation method)用于发现重叠社区，派系(clique)是任意两点都相连的顶点的集合，即完全子图。

在社区内部节点之间连接密切，边密度高，容易形成派系(clique)。因此，社区内部的边有较大可能形成大的完全子图，而社区之间的边却几乎不可能形成较大的完全子图，从而可以通过找出网络中的派系来发现社区。

k-派系表示网络中含有k个节点的完全子图，如果一个k-派系与另一个k-派系有k-1个节点重叠，则这两个k-派系是连通的。由所有彼此连通的k-派系构成的集合就是一个k-派系社区。

由所有彼此连通的k-派系构成的集合就是一个k-派系社区。

网络中会存在一些节点同时属于多个k-派系，但是它们所属的这些k-派系可能不相邻，它们所属的多个k-派系之间公共的节点数不足k-1个。这些节点同属的多个k-派系不是相互连通的，导致这几个k-派系不属于同一个k-派系社区，因此这些节点最终可以属于多个不同的社区，从而发现社区的重叠结构。

所以CPM算法的过程是首先寻找网络中极大的完全子图（maximal-cliques），然后利用这些完全子图来寻找k-派系的连通子图（即 k-派系社区），不同的k值对应不同的社区结构。找到所有的k-派系之后，可以建立这些派系的重叠矩阵(clique overlap matrix)。在这个对称的矩阵中，每一行（列）代表了一个派系，矩阵中的非对角线元素代表两个连通派系中共享的结点的数目。对角线元素代表派系的规模。将小于k-1的非对角线元素置为0，小于k的对角线元素置为1，得到k-派系连接矩阵，每个连通部分构成了一个k-派系社区。

由于k是个输入参数值，从而k的取值将会影响CMP算法的最终社区发现结果，当k取值越小社区将会越大，且社区结构为稀疏。但是实验证明k的取值影响不是很大，一般k值为4到6。然而，由于该算法是基于完全子图，因此CPM比较适用于完全子图比较多的网络，即边密集的网络，对于稀疏网络效率将会很低，且该算法还无法分配完全子图外的顶点。CPM的效率取决于寻找所有极大完全子图的效率，尽管寻找所有极大完全子图是NP完全问题，但在真实网络上是非常快的。

如何寻找极大完全子图？

极大完全子图是不能在扩展的，那么首先随机选取种子节点，然后在种子节点周围扩展成完全子图，如果这个完全子图不能再被扩展，那么我们就找到了极大完全子图。但是这种方式可能会将同一个极大完全子图产生多次。

下面给出寻找某个点a极大完全子图Q的算法，主要思想是如果x是在Q里，那么它一定是a的邻居。

参考资料：

Social and Information Network Analysis Jure Leskovec, Stanford University