输入n个数的序列,输出这n个数的任意连续子序列的最大和。在这里我们假设序列的数都为整数(包括正和负)
如序列: 31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84 从[2..6]的总和187为最大
【解法一:穷举法】
最简单的方法,穷举法:即对所有满足0 <= i <= j < n 的(i, j)整数对进行迭代。对于每个整数对,程序都要计算x[i..j]的总和,并检验该总和是否大于迄今为止的最大总和。 其PHP实现如下:
$maxsofar) { $maxsofar = $sum; } } } return $maxsofar; } $seq = array(31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84); echo maxsofar($seq); die();
算法一优点是非常清晰明了,一眼就看出其思路,并且实现简单。
但是其时间复杂度为O(n的立方),如果数据量稍微大一点,整个程序的效率将会巨慢。
【解法二:】
x[i..j]的总和与前面已计算的总和x[i..j-1]密切相关,即x[i..j] = x[i..j-1] + x[j]
于是我们有了解法二。如下所示PHP代码:
$maxsofar) { $maxsofar = $sum; } } } return $maxsofar; } $seq = array(31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84); echo maxsofar($seq); die();
【解法三:预处理】
同样是根据x[i..j]的总和与前面已计算的总和x[i..j-1]密切相关,即x[i..j] = x[i..j-1] + x[j]
不过我们使用另外一种表示:预处理数据,计算cumarr[i] = x[0..i],则x[i..j] = cumarr[j] – cumarr[i - 1]
然后再如解法二一样遍历比较,算出最大的值。如下所示代码:
$maxsofar) { $maxsofar = $sum; } } } return $maxsofar; } $seq = array(31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84); echo maxsofar($seq); die();
【解法四:分治算法】
分治原理:要解决规模为n的问题,可递归地解决两个规模近似为n/2的子问题,然后对它们的答案进行合并以得到整个问题的答案。
首先创建两个子序列a和b,然后递归找出a,b中元素总和最大的子向量,分别称为ma和mb,也许我们可能找到最后的解了,可是也有可能答案所在的子序列一部分在ma,一部分在mb,对于这种跨越边界的序列我们将其称之为mc。
我们的分治算法将递归地计算ma和mb,并通过其它方法计算mc,然后返回3个总各和中的最大者。其PHP实现如下:
$right) { return 0; // 已没有元素 递归返回 } if($left == $right) { return max(0, $seq[$left]); // 只有一个元素,返回这个元素与0之间的较大值 } $middle = floor(($left + $right) / 2); /* 左边从中间开始的最大子序列和 */ $lmax = $sum = 0; for($i = $middle; $i >= $left; $i--) { $sum += $seq[$i]; $lmax = max($lmax, $sum); } /* 右边从中间开始的最大子序列和 */ $rmax = $sum = 0; for($i = $middle + 1; $i <= $right; $i++) { $sum += $seq[$i]; $rmax = max($rmax, $sum); } return max($lmax + $rmax, maxsofar($seq, $left, $middle), maxsofar($seq, $middle + 1, $right)); } $seq = array(31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84); echo maxsofar($seq, 0, count($seq) - 1); die();
对于mc的计算,通过观察发现,mc在a中包含右边界的最大子序列,而mc在了中包含左边界的最大子序列
此解法的时间复杂度为O(nlogn)
【解法五:扫描算法】
最大总和的初始值设为0,假设我们已解决了x[0..i-1]的问题,那么最大总各子序列要么在前i-1个元素中,要么其结束位置为i
理解这个程序的关键在于变量$maxendinghere。
在循环中的第一个赋值语句之前,$maxendinghere是结束位置为i-1的最大子序列的和;赋值语句将其改为结束位置为i的最大子序列的和。
其时间复杂度为O(n),对于这种时间复杂度为O(n)的算法,一般称其为线性算法。