最通俗易懂的海明码校验纠错讲解

一、海明码编码

1.1. 求海明码位数

公式：≥N+k+1,其中N为有效信息位数，K为校验码位数。

例子：编码前有效信息为10011101，求校验码位数？

解：

        有效信息码10011101长度为8则，N=8，求K=？，可以将N带入公式≥8+k+1然后K可依次用正整数带入，取维持等式成立的最小值，解得K=4。并根据经验总结，得出信息码位与校验码位关系，如下表所示。

信息码位数	1	2~4	5~11	12~26	27~57	58~120	121~247
校验码位数	2	3	4	5	6	7	8

                                                                            1-1 信息码位数与校验码位数关系表

1.2. 求海明码位置

公式：效验码只能放在（，，...）位置。

例子：当效验码为4位时（即K=4）校验位置分布如下表,P代表校验码，D代表信息码。

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6	D7	D8
			.

 

1.3. 求海明码数值

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6	D7	D8
？	？	1	？	0	0	1	？	1	1	0	1

公式：在偶校验方式下Pn的取值，受到Pn所能验证位中所有1的个数影响，当1为偶数个时则Pn=0，当1的个数为奇数个时则Pn=1。Pn能验证的位=从Pn位数起，校验n位，然后跳过n位，以此规则循环至末尾。

例子：

        P1（第1个校验位，也是整个码位的第1位）的校验规则是： 从P1位数起，连续校验1位，然后跳过1位，再连续校验1位，再跳过1位，……。如下表

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	P1	P2	1	P3	0	0	1	P4	1	1	0	1
P1	√		√		√		√		√		√

                                      P1取值

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	P1		1		0		1		1		0

        此时有奇数个1，为保证偶校验，则此时P1应取1，即P1=1。

         P2（第2个校验位，也是整个码位的第2位）的校验规则是： 从P2位数起，连续校验2位，然后跳过2位，再连续校验2位，再跳过2位，……。如下表

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	1	P2	1	P3	0	0	1	P4	1	1	0	1
P1	√		√		√		√		√		√
P2		√	√			√	√			√	√

                                      P2取值

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值		P2	1			0	1			1	0

        此时有奇数个1，为保证偶校验，则此时P2应取1，即P2=1

         p3（第3个校验位，也是整个码位的第4位）的校验规则是：从当前位数起位数起，连续校验4位，然后跳过4位，再连续校验4位，再跳过4位，……。如下表

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	1	1	1	P3	0	0	1	P4	1	1	0	1
P1	√		√		√		√		√		√
P2		√	√			√	√			√	√
P3				√	√	√	√					√

                                      P3取值

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值				P3	0	0	1					1

        此时有偶数个1，为保证偶校验，则此时P3应取0，即P3=0

        P4（第4个校验位，也是整个码位的第8位）的校验规则是：从当前位数起位数起，连续校验8位，然后跳过8位，再连续校验8位，再跳过8位，……。如下表

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	1	1	1	0	0	0	1	P4	1	1	0	1
P1	√		√		√		√		√		√
P2		√	√			√	√			√	√
P3				√	√	√	√					√
P4								√	√	√	√	√

                                      P4取值

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值								P4	1	1	0	1

        此时有奇数个1，为保证偶校验，则此时P4应取1，即P4=1

        到此整个编码工作结束，各校验码的码值和码位如下

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	1	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	1

 

二、海明码解码

        举一个例子来说明，经过此前编码工作源端发送出的海明码为111000111101共12位长度，假设在传输过程中出现了错误，将第5位由0变成了1，则接收端实际接收到的编码为111010111101。

2.1. 求出错位置

        将P1、P2、P3、P4所负责验证的码位取名为组，即得到对应的G1、G2、G3、G4四个组，然后分别用奇偶校验法去验证各组码值定位错误。

G1验证组：经过奇偶校验发现G1组中有奇数个1，使用异或运算G1=1（简单办法是直接数1的个数奇数为1偶数为0）

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	1		1		1		1		1		0

G2验证组：经过奇偶校验发现G2组中有偶数个1，使用异或运算G2=0（简单办法是直接数1的个数奇数为1偶数为0）

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值		1	1			0	1			1	0

G3验证组：经过奇偶校验发现G3组中有奇数个1，使用异或运算G3=1（简单办法是直接数1的个数奇数为1偶数为0）

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值				0	1	0	1					1

G4验证组：经过奇偶校验发现G4组中有偶数个1，使用异或运算G4=0（简单办法是直接数1的个数奇数为1偶数为0）

 

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值								1	1	1	0	1

        根据以上验证结果可以使用计算法或图表法来定位出错位。

1）计算法

        将校验位降序排列可得G4 G3 G2 G1（二进制高位在左），设出错位为N，则得公式N = G4 G3 G2 G1，即N=0101转换成十进制得5则说明，接收端得到的海明码第五位出现了传输错误。

2）图表法

码位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
码值	1	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	1
P1 G1	√		√		√		√		√		√
P2 G2		√	√			√	√			√	√
P3 G3				√	√	√	√					√
P4 G4								√	√	√	√	√

       经过计算只有G1和G3的值为1，结合图表可以看出仅由G1和G3同时验证的码位只有第5位，则说明第五位出现了传输错误。

2.2. 纠正错误值

       二进制位非0即1，当判断出是哪位出错对该位取反即可。则经过纠正的海明码为111000111101，与发送端保持了一致。