高数总结（微分方程）

1）微分方程：未知函数，未知函数的导数，自变量；
2）微分的阶：最高阶导数的次数；
3）可分离变量的微分方程：g(y)dy=f(x)dx型，这类微分方程的解法是两边同时积分；需要注意的是，虽然可以化为这种类型，但不一定能求出解的。
4）齐次微分方程：可化为dy/dx=G(y/x)的方程。可令u=y/x，并变换成可分离变量的微分方程来求解；
5）可化为齐次微分方程：dy/dx=(ax+by+c)/(lx+my+n).(不满足c=n=0),这类方程可通过x=X+h,y=Y+k来替代，化为齐次微分方程。通过ah+bk+c=0和eh+fh+g=0来确定h,k.

从而化为:dY/dX=(aX+bY)/(eX+fY).如果方程无解，即无法确定h,k,则可令a/e=b/f=k,然后令u=ax+by来变换，化为变量可分离的微分方程；
6）一阶线性微分方程：dy/dx+P(x)y=Q(x):

7)伯努利方程：dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n,n>2时不是线性方程，可通过令u=y^(1-n)来化为线性方程求解；
8)可降阶高阶微分方程：
y(n)=f(x)型，可连续求积分求解；
y''=f(x,y')型，可令p=y'来化为第一种型.
y''=f(y,y')型，同样令p=y'.化为变量y,p的一阶微分方程求解。
9)高阶二次线性微分方程
y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x). 假设y=c1*y1(x)+c2*y2(x)为y''+P(x)y'+Q(x)y=0的通解===>y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的通解：

10)高阶线性微分方程:
y(n)+a1(x)y(n-1)+...+ak(x)y(n-k)+an(x)y=f(x)

11)通解，特解，微分方程解的叠加原理，常数变易法。

12）常系数微分方程：y(n)+a1*y(n-1)+...+ak*y(n-k)+an*y=0,a1,a2...an为常数。其特征方程:x^n+a1*x^(n-1)+...+ak*x^(n-k)+...+an=0;

13)二阶非齐次线性微分方程

y''+py'+qy=f(x).通解等于y''+py'+qy=0的通解加上特解。特解求法：
A）f(x)=Pm(x)e^kx ： 特解型如：y=x^r * Qm(x)e^kx;k不是特征方程的解r=0,是单根r=1,是重根r=2. 

B）：

==》（）

==》特解,求特解时利用A型。这里需要利用微分方程解的叠加原理。

14）欧拉方程

令t=lnx.=>另D为对y的求导记号X^k*y(k) = D(D-1)...(D-k+1).然后化为常系数线性微分方程求解。

15）常系数线性微分方程组求解
1）消元法得到一个未知函数的常系数微分方程，然后求出其解，然后代入方程组求其它未知函数。