带约束的二次型的极大值证明

试证明对于对称阵 $A$ 的二次型 $f(x)={\mathrm{x}}^{T}A\mathrm{x}$ ，当 $f(x)$ 取得极大值时，$\mathrm{x}$ 为对称阵 $A$ 的最大的特征值对应的特征向量。

采用拉格朗日乘子法求解带约束的二次型问题：
$$\begin{gathered} \text{maximize}{\mathrm{x}}^{T}A\mathrm{x} \\ \text{subject to}{\mathrm{x}}^T\mathrm{x}=1 \end{gathered}$$
其拉格朗日函数为：
$$L(\mathrm{x},\lambda )={\mathrm{x}}^{T}A\mathrm{x}-\lambda ({\mathrm{x}}^T\mathrm{x}-1)$$
对 $L$ 求偏导，有：
$$\frac{\partial L}{\partial \mathrm{x}}=2A\mathrm{x}-2\lambda \mathrm{x}$$
令 $\frac{\partial L}{\partial \mathrm{x}}=0$ ，得到 $A\mathrm{x}=\lambda \mathrm{x}$，即 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\mathrm{x}$ 为特征值 $\lambda$ 对应的特征向量。又由于 ${\mathrm{x}}^T\mathrm{x}=1$，有 $L(\mathrm{x},\lambda )={\mathrm{x}}^{T}A\mathrm{x}={\mathrm{x}}^T\lambda \mathrm{x}=\lambda {\mathrm{x}}^T\mathrm{x}=\lambda$。所以， $L$ 要取得最大值，即 $\lambda$ 要取得最大值，此时 $\lambda$ 应为对称阵 $A$ 的最大的特征值，而 $\mathrm{x}$ 为最大的特征值对应的特征向量。