最短路径之Dijkstra算法以及C语言实现

Dijkstra算法
1959年由Dijkstra提出，算法采用标号法，有两种标号，T 标号和P标号。T标号称为试探性标号（tentative label），P标号 为永久性标号（permanent label）,给节点vi一个P标号表示从起 点vs到vi的最短路径的长度；给节点vi一个T标号表示从起点vs到 vi的估计的最短路径长度的上界；算法的每一步都会把某点的T 标号改为P标号，当终点vt得到P标号时，计算结束 。

算法步骤

1. 给v_s以P标号，P(v_s)=0，其余各节点给T标号，T(v_i)=+ ∞
2. 若v_i为刚得到P标号的节点，考虑所有v_i可以到达的节点v_j，且 v_j为T标号，对T(v_j)进行修改：T(v_j)=min[T(v_j),P(v_i)+L_ij]
3. 比较所有T标号的节点，最小者改为P标号：P(v_k)=min[T(v_i)], 转步骤2

图示如下：

寻找顶点V₁至顶点V₈的最短路径

使用C语言实现Dijkstra算法
使用一个存放各顶点的当前距离的数组dist，一旦从源点v到顶点k的最短路径已经求出，则disk[k]就是从源点到顶点k的最短路径长度。使用数组pre，pre[j]存放从源点到顶点j的最短路径中j前面的顶点。我们可以方便地从pre数组中求得从源点v到其他顶点的路径。

代码如下：

#include 
#include 
#define maxv 20
typedef char VertexType;
typedef struct MGraph
{
    VertexType  vexes[maxv];//顶点表
    int edges [maxv][maxv];//邻接矩阵,其元素值表示代价
    int n,e;//顶点数、边数
}mgraph;

void Dijkstra(mgraph *g,VertexType v,int dist[maxv],int pre[maxv])
{
    /*参数说明：g：邻接矩阵结构的图，v ：源点，dist ： 存放源点到各顶点距离，pre：存放路径*/
    int vinx,i,j,k,min;
    for(i=0; i <g->n; i++)
    {
        if(v == g->vexes[i])
        {
            vinx = i;
            break;
        }
    }
    for(i=0; i <g->n; i++)
    {
        dist[i] = g->edges[vinx][i];
        visited[i] =0;
        if(dist[i] < maxweight)
            pre[i] = vinx;
        else
            pre[i] = -1;
    }
    visited[vinx] = 1;
    pre[vinx] = 0;
    for(i = 0; i < g->n; i++)
    {
        min = maxweight;
        k = 0;
        for(j = 0; j < g->n; j++)
        {
            if(visited[j] == 0)
                if(dist[j] !=0 && dist[j] < min)
                {
                    min = dist[j];
                    k = j;
                }
        }
        if(k == 0)
            continue;
        visited[k] = 1;
        for(j =0; j <g->n; j++)
        {
            if(visited[j] == 0 && g->edges[k][j] < maxweight)
            {
                if(dist[k] + g->edges[k][j] < dist[j])
                {
                    dist[j] = dist[k] + g->edges[k][j];
                    pre[j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

/*输出Dijkstra路径*/
void print_dpath(mgraph *g,int path[maxv],int v, int u)
{
    /*查找从v 到 u的路径*/
    int k;
    k = path[u];
    if(k == -1)
    {
        printf("no path!");
        return;
    }
    printf("%c",g->vexes[u]);
    while(k != v)
    {
        printf("<--");
        printf("%c",g->vexes[k]);
        k = path[k];
    }
    printf("<--%c",g->vexes[k]);
}