[机器学习]决策树中的信息增益和信息增益比

一、特征选择中的信息增益

什么是信息增益？

信息增益是特征选择中的一个重要的指标，它定义为一个特征能为分类系统带来多少信息，信息越多，该特征就越重要。

这样就又有一个问题：如何衡量一个特征为分类系统带来了多少信息呢？

对一个特征而言，系统有它的时候和没有它的时候信息量将会发生变化，前后的信息量的差值就是这个特征给系统带来的信息量。

信息量——在信息论中就是熵。

二、计算信息增益：利用熵

1.信息论中的熵

有一个随机变量x，它可能的取值有n种，x1，x2，......，xn，每一种取到的概率是p1,p2,......,pn，那么x的熵就定义为：

式中的对数以2为底的时候熵的单位是比特（bit），以e为底的时候单位是纳特（nat）。

意思就是一个变量可能的变化越多（就是取值的种类越多，反而跟变量具体的取值没有任何关系，只和值的种类多少以及发生概率有关），它携带的信息量就越大。

2.分类系统中的熵

对分类系统来说，类别C是变量，它可能的取值是C1，C2，……，Cn，而每一个类别出现的概率是P(C1)，P(C2)，……，P(Cn)，因此n就是类别的总数。此时分类系统的熵就可以表示为：

3.信息增益和熵的关系

信息增益是针对一个一个的特征而言的。那么我们就是一个一个特征来看，系统含有特征a时的信息量很好计算，就是上面的式子，它表示的是包含所有特征时的信息量。

当系统中不包含特征a时，信息量（熵）该如何计算？

这里有一个例子：教室里有很多座位，学生们每次上课进来的时 候可以随便坐，因而变化是很大的（无数种可能的座次情况）；但是现在有一个座位，看黑板很清楚，听老师讲也很清楚，于是校长的小舅子的姐姐的女儿托关系 （真辗转啊），把这个座位定下来了，每次只能给她坐，别人不行，此时情况怎样？对于座次的可能情况来说，我们很容易看出以下两种情况是等价的：（1）教室 里没有这个座位；（2）教室里虽然有这个座位，但其他人不能坐（因为反正它也不能参与到变化中来，它是不变的）。

从例子中可以看出，下面两个命题是等价的：1.系统中不包含特征a。2.系统中包含特征a，但是a已经固定，不能变化。

那么我们计算系统中不包含特征a的情况时，就用2来代替。当一个特征a不能变化时，系统的信息量是多少?

这个信息量有个专门的名称：条件熵。

一个特征X，它可能的取值有n多种（x1，x2，……，xn）， 当计算条件熵而需要把它固定的时候，要把它固定在哪一个值上呢？答案是每一种可能都要固定一下，计算n个值，然后取均值才是条件熵。而取均值也不是简单的 加一加然后除以n，而是要用每个值出现的概率来算平均（简单理解，就是一个值出现的可能性比较大，固定在它上面时算出来的信息量占的比重就要多一些）。

条件熵的表达式：

特征x被固定为xi时的条件熵。

特征x被固定时的条件熵。

上面两个式子的关系。

具体到我们文本分类系统中的特征T，T有几个可能的值呢？注意t是指一个固定的特征，比如他就是指关键词“经济”或者“体育”，当我们说特征“经济”可能的取值时，实际上只有两个，“经济”要么出现，要么不出现。一般的，T的取值只有T（代表t出现）和非T（代表t不出现），注意系统包含t但t 不出现与系统根本不包含t可是两回事。

固定t时条件熵就有了，则

P(t)就是T出现的概率，就是T不出现的概率。式子进一步展开;

那么特征T给系统带来的信息增益为;

三：信息增益比

以信息增益作为划分训练数据集的特征，存在偏向于选择取值较多的特征的问题。使用信息增益比可以对这一问题进行矫正。

特征A对训练数据集D的信息增益比定义为其信息增益与训练数据集D关于特征A的值的熵之比。

式子;

四：一个例子

任务：

根据天气预测否去打网球

数据：

这个数据集来自Mitchell的机器学习，叫做是否去打网球play-tennis,以下数据仍然是从带逗号分割的文本文件，复制到纪事本，把后缀直接改为.csv就可以拿Excel打开：

*play-tennis data，其中6个变量依次为：编号、天气{Sunny、Overcast、Rain}、温度{热、冷、适中}、湿度{高、正常}、风力{强、弱}以及最后是否去玩的决策{是、否}。一个建议是把这些数据导入Excel后，另复制一份去掉变量的数据到另外一个工作簿，即只保留14个观测值。这样可以方便地使用Excel的排序功能，随时查看每个变量的取值到底有多少。*/

NO. , Outlook , Temperature , Humidity , Wind , Play 
1 , Sunny , Hot , High , Weak , No 
2 , Sunny , Hot , High , Strong , No 
3 , Overcast , Hot , High , Weak , Yes 
4 , Rain , Mild , High , Weak , Yes 
5 , Rain , Cool , Normal , Weak , Yes 
6 , Rain , Cool , Normal , Strong , No 
7 , Overcast , Cool , Normal , Strong , Yes 
8 , Sunny , Mild , High , Weak , No 
9 , Sunny , Cool , Normal , Weak , Yes 
10 , Rain , Mild , Normal , Weak , Yes 
11 , Sunny , Mild , Normal , Strong , Yes 
12 , Overcast , Mild , High , Strong , Yes 
13 , Overcast , Hot , Normal , Weak , Yes 
14 , Rain , Mild , High , Strong , No

用决策树来预测：

决策树的形式类似于“如果天气怎么样，去玩；否则，怎么着怎么着”的树形分叉。那么问题是用哪个属性（即变量，如天气、温度、湿度和风力）最适合充当这颗树的根节点，在它上面没有其他节点，其他的属性都是它的后续节点。

那么借用上面所述的能够衡量一个属性区分以上数据样本的能力的“信息增益”（Information Gain）理论。

如果一个属性的信息增益量越大，这个属性作为一棵树的根节点就能使这棵树更简洁，比如说一棵树可以这么读成，如果风力弱，就去玩；风力强，再按天气、温度等分情况讨论，此时用风力作为这棵树的根节点就很有价值。如果说，风力弱，再又天气晴朗，就去玩；如果风力强，再又怎么怎么分情况讨论，这棵树相比就不够简洁了。

用熵来计算信息增益:

 

1 计算分类系统熵
类别是 是否出去玩。取值为yes的记录有9个，取值为no的有5个，即说这个样本里有9个正例，5 个负例，记为S(9+,5-)，S是样本的意思(Sample)。那么P(c1) = 9/14, P(c2) = 5/14

这里熵记为Entropy(S),计算公式为：

Entropy(S)= -(9/14)*log2(9/14)-(5/14)*log2(5/14)用Matlab做数学运算

2 分别以Wind、Humidity、Outlook和Temperature作为根节点，计算其信息增益

我们来计算Wind的信息增益

当Wind固定为Weak时：记录有8条，其中正例6个，负例2个；

同样，取值为Strong的记录6个，正例负例个3个。我们可以计算相应的熵为：

Entropy(Weak)=-(6/8)*log(6/8)-(2/8)*log(2/8)=0.811
Entropy(Strong)=-(3/6)*log(3/6)-(3/6)*log(3/6)=1.0

现在就可以计算出相应的信息增益了：

所以，对于一个Wind属性固定的分类系统的信息量为 (8/14)*Entropy(Weak)+(6/14)*Entropy(Strong)

Gain(Wind)=Entropy(S)-(8/14)*Entropy(Weak)-(6/14)*Entropy(Strong)=0.940-(8/14)*0.811-(6/14)*1.0=0.048

这个公式的奥秘在于，8/14是属性Wind取值为Weak的个数占总记录的比例，同样6/14是其取值为Strong的记录个数与总记录数之比。

同理，如果以Humidity作为根节点：
Entropy(High)=0.985 ; Entropy(Normal)=0.592
Gain(Humidity)=0.940-(7/14)*Entropy(High)-(7/14)*Entropy(Normal)=0.151
以Outlook作为根节点：
Entropy(Sunny)=0.971 ; Entropy(Overcast)=0.0 ; Entropy(Rain)=0.971
Gain(Outlook)=0.940-(5/14)*Entropy(Sunny)-(4/14)*Entropy(Overcast)-(5/14)*Entropy(Rain)=0.247
以Temperature作为根节点：
Entropy(Cool)=0.811 ; Entropy(Hot)=1.0 ; Entropy(Mild)=0.918
Gain(Temperature)=0.940-(4/14)*Entropy(Cool)-(4/14)*Entropy(Hot)-(6/14)*Entropy(Mild)=0.029
这样我们就得到了以上四个属性相应的信息增益值：
Gain(Wind)=0.048 ；Gain(Humidity)=0.151 ； Gain(Outlook)=0.247 ；Gain(Temperature)=0.029
最后按照信息增益最大的原则选Outlook为根节点。子节点重复上面的步骤。这颗树可以是这样的，它读起来就跟你认为的那样：