最优化方法（n）多目标优化
多目标最优化的数学描述如下
min(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x))
s.t. g(x)<=0
1. 解存在吗？
多目标首先要解决的一个问题是解的存在性问题。这种问题涉及到很深的数学理论。
2. 如何求解？基于多目标加权思想！
其次它要解决怎么来求解的问题。如果问题没有最优解，那么通过以下将要说明的方法就可以判别出来。如果问题有解，又怎么来求得他们呢？特别的，问题有无限多个解，又该怎么办呢？
如果问题有解，求得的一个最简单的方法是称为所谓的 标量化方法，或者说是权重方法。这个方法的本质是体现当事人对各个目标的侧重点。它 首先对每个目标赋一个权重，然后把所有的目标乘上权重然后累和作为一个目标，然后再与原问题相同的约束下求解。可以证明，这样的问题的解是原问题的一个解（称为 pareto解）。不断的改变权重的安排，就可以求得不同的最有解。注意：多目标优化/决策问题不存在唯一的全局最优解，二是存在多个最优解的集合，其中的元素就全局目标而言是不可比较的，称为 Pareto最优解集！（Pareto是意大利经济学家）另外一种方法叫做所谓的 Benson方法。这种方法是只考虑问题的其中一个目标，而其他目标要求他们小于一定的值。然后再与原问题相同的约束下来优化这个目标。可以证明，这样求得的一个最优解也是原问题的最优解。
还有一种方法叫做所谓的 goal programming方法。这种方法本质和Benson的方法差不多。它考虑如下问题
min \sum_{i=1}^k(\alpha_i u_i+\beta v_i)
s.t. f_i(x)+u_i-v_i=f(x_0)
g(x)<=0
其中x_0是预先取定的点，\alpha_i,\beta_i, i=1,\cdots, k是权重。求解上面的问题会求的一个最优解。可以证明，这个最优解也是 pareto最优的。
还有一种方法是 范数权重方法，他考虑如下问题
min (\sum_{i=1}^k |f_i(x)-f^*_i|^p)^{1/p}
s.t. g(x)<=0
其中，f^*是理想点，就是每个分量都是最优的点。它的本质是求得一个在所采用的范数下与理想点最近的点。可以证明上面的最优解也是原问题的一个pareto最优解。
其他还有compromise(妥协）方法，演化方法等等。思想都差不多。这里就不介绍了。
上述主要思想是采用加权思想，将多目标转换为单目标问题求解。主要存在下列缺点：
1）加权系数的选取具有主观性；
2）多目标单位可能不一致，强制加权在一起不易做比较；
3）优化目标仅为多目标的加权和，优化过程中各目标的优度进展不可操作；
4）各目标通过决策变量相互制约，有时甚至是相互矛盾的目标；致使加权目标函数的拓扑结构十分复杂。
3. 如何求解？基于进化思想！
多目标全局优化算法（MOEA）是一种模拟生物进化机制而形成的全局概率性优化搜索方法，上世纪90年代得以迅速发展。其算法核心思想是：从随机生成的种群出发，经过选择、交叉、变异等进化操作，经过多代进化，使得种群中个体的适应度逐渐增强，最终逼近多目标优化问题的全局最优pareto解集。
基于种群的智能优化算法的主要优点是：具有较高的并行性，尤其在多目标优化求解时，一次求解可求得多个Pareto最优解，这是基于多目标加权后的单目标优化不可比拟的优势。此外进化算法对Pareto前沿的形状和连续性不作要求，可以处理不连续的、凹形的Pareto前沿，这是数学规划技术中两个非常重要的问题。
基于进化思想，近年来主要的进化范例算法包括：粒子群优化(PSO)、蚁群算法、人工免疫系统算法、分布估计算法、协同进化算法、密码算法、文化进化算法等。
4. 研究现状与趋势？
研究多目标方法目前主要有3派。中国学派从理论上研究，对算法研究的很少。所以导致泳的数学很高深，文章很难读。国外的比较注重理论和计算。一般来说都是理论指导计算的。还有一派干脆就是实用主义者。它们只考虑应用多目标最优化的模型来解决实际问题，比如管理问题，工程设计问题等等。