算法设计与分析之八枚硬币问题
实验题目
在8枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相比较轻还是重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，设计一个高效的算法来检测这枚假币。
实验目的
1.深刻理解并掌握减治法的设计思想；
2.提高应用减治法设计算法的技能；
3.理解这样一个观点：建立正确的模型对于问题的求解释非常重要的。
实验要求
1.设计减治法实现8枚硬币问题；
2.设计实验程序，考察用减治法技术设计的算法是否高效；
3.扩展算法，使之能处理n枚硬币中有一枚假币的问题。
算法设计与实现
从八枚硬币中任取六枚 a，b，c，d，e，f a ， b ， c ， d ， e ， f ，在天平两端各放三枚进行比较。假设 a，b，c a ， b ， c 三枚放在天平的一端， d，e，f d ， e ， f 三枚放在天平的另一端，可能出现三种比较结果：
⑴a+b+c>d+e+f ⑴ a + b + c > d + e + f
⑵a+b+c=d+e+f ⑵ a + b + c = d + e + f
⑶a+b+c<d+e+f ⑶ a + b + c < d + e + f
若 a+b+c>d+e+f a + b + c > d + e + f ，可以肯定这六枚硬币中必有一枚为假币，同时也说明， g,h g , h 为真币。这时可将天平两端各去掉一枚硬币，假设去掉 c c 和 f f ，同时将天平两端的硬币各换一枚，假设硬币 b b 和 e e 作了互换，然后进行第二次比较，比较的结果同样可能有三种：
① a+e>d+b a + e > d + b ： 这种情况表明天平两端去掉硬币 c，f c ， f 且硬币 b，e b ， e 互换后，天平两端的轻重关系保持不变，从而说明了假币必然是 a，d a ， d 中的一个，这时我们只要用一枚真币（例如 h h ）和 a a 进行比较，就能找出假币。若 a>h a > h ，则 a a 是较重的假币；若 a=h a = h ，则 d d 为较轻的假币；不可能出现 a a
② a+e=d+b a + e = d + b ：此时天平两端由不平衡变为平衡，表明假币一定在去掉的两枚硬币 c，f c ， f 中，同样用一枚真币（例如 h h ）和 c c 进行比较，若 c>h c > h ，则 c c 是较重的假币；若 c=h c = h ，则 f f 为较轻的假币；不可能出现 c c
③ a+e<d+b a + e < d + b ： 此时表明由于两枚硬币 b，e b ， e 的对换，引起了两端轻重关系的改变，那么可以肯定 b b 或 e e 中有一枚是假币，同样用一枚真币（例如 h h ）和 b b 进行比较，若 b>h b > h ，则 b b 是较重的假币；若 b=h b = h ，则 e e 为较轻的假币；不可能出现 b b
对于结果（2）和（3）的情况，可按照上述方法作类似的分析。
下图给出了判定过程，图中大写字母 H H 和 L L 分别表示假币较其它真币重或轻，边线旁边给出的是天平的状态。八枚硬币中，每一枚硬币都可能是或轻或重的假币，因此共有16种结果，反映在树中，则有16个叶子结点，从下图中可看出，每种结果都需要经过三次比较才能得到。
在n枚硬币问题中，同样应用减治法的思想，将硬币分为3堆，则每堆的硬币数量为 n/3 ，但是这在 n%3==0 的情况下才能成立，所以我们将 n 枚硬币分为 3 堆加 1 个余数堆(余数堆可能为0)，则可分为如下(n-n%3)/3，(n-n%3)/3，(n-n%3)/3，n%3。
逻辑流程：
1. 首先获取真币，通过从数组中随机取三枚硬币，互相比较，相等的两枚为真币，任意取一枚作为真币记录数组下标。
2. 判断n中的硬币数量，如果n>2则执行3，否则执行6.
3. 将n分为上图的四堆，拿 a 和 b 比较，如果 a == b ,则 假币在 c 或 d 中。否则假币在 a 或 b 中。
4. 如果 a == b，则拿 a 和 c 比较。如果 a == c,则假币在d(余数堆)中。将 d 再次 执行流程2，并且n=n%3。如果不等，则假币在 c 中，将 c 再次 执行流程2，并且n=(n-n%3)/3。
5. 如果 a != b，则拿 a 和 c 比较。如果 a == c,则假币在b中，将 b 再次 执行流程2，并且n=(n-n%3)/3。如果不等，则假币在 a 中，将 a 再次 执行流程 2，并且n=(n-n%3)/3。
6. 如果n==2，则将两枚硬币与真的硬币（通过 数组下标 ）进行比较，不同的为假币，输出结果，结束。
7. 如果n==1，则该硬币就是假币，输出结果结束。
程序源码：
#include
using namespace std;
//函数声明
void eightcoin(int arr[]);
void compare(int a, int b,int real, int index1,int index2);
void print(int fake, int real, int i);
int main()
{
int arr[8];
//这里输入a、b、c、d、e、f、g、h的重量
cout<<"请输入八枚硬币："<for(int i = 0; i < 8; i++)
{
cin>>arr[i];
}
eightcoin(arr);
return 0;
}
void eightcoin(int arr[])
{
//取数组中的前6个元素分为两组进行比较abc,def
//会有a+b+c > d+e+f | a+b+c == d+e+f | a+b+c < d+e+f 三种情况
int abc = arr[0] + arr[1] + arr[2];
int def = arr[3] + arr[4] + arr[5];
int a = arr[0];
int b = arr[1];
int c = arr[2];
int d = arr[3];
int e = arr[4];
int f = arr[5];
int g = arr[6];
int h = arr[7];
if(abc > def) //6枚硬币必有一枚假币，g,h为真币
{
if((a + e) > (d + b)) //去掉c,f，且b，e互换后，没有引起天平变化，说明假币必然是a，d中的一个
{
compare(a,d,g,0,3);
}
else if((a + e) == (d + b))
{
compare(c,f,g,2,5);
}
else
{
compare(b,e,g,1,4);
}
}
else if(abc == def) //假币在g,h之中，最好状态
{
if(g == a)
{
print(h,g,7);
}
else
{
print(g,h,6);
}
}
else //abc < def 这两组存在一枚假币，g,h为真币
{
if((a + e) > (d + b))
{
compare(b,e,g,1,4);
}
else if((a + e) == (d + b))
{
compare(c,f,g,2,5);
}
else
{
compare(a,d,g,0,3);
}
}
}
/**
* 取出可能有一枚假币的两枚假币，作为参数a和参数b
* real表示真币的重量，index1为第一枚硬币的下标，index2为第二枚硬币的下标
*/
void compare(int a, int b,int real, int index1,int index2)
{
if(a == real)
{
print(b,real,index2);
}
else
{
print(a,real,index1);
}
}
void print(int fake, int real, int i)
{
if(fake > real)
{
cout<<"位置在："<<(i + 1)<<"是假币!"<<"且偏重!";
}
else {
cout<<"位置在："<<(i + 1)<<"是假币!"<<"且偏轻!";
}
} 实验结果与分析
1.实验结果
2.实验分析
减治法是把一个大问题划分为若干个小问题，但是这些子问题不需要分别 ，只需要求解其中的一个子问题，因而也无须对子问题的解进行合并，这样大大提高了算法的效率。
在八枚硬币问题中，应用减治法，将问题一分为二，这样只需要3次比较便能解决问题。
对于n枚硬币问题，同样可以用减治法处理，采用分治和递归的方法逐步接近问题的解。