密码学总结（一） 数学常识

最近非代码相关的事情太多，一直在跑这样的事情，感觉自己越来越能说话了，敲的代码却越来越少了，以致于6月到现在只写过一篇博客，赶紧补一篇。
密码学原理是学过的相关课程，老师教的好，自己感觉也可以，就总结一下，以备后用。

几个数学定义

首先要讲的，是关于群、环、域的概念，这是离散数学当中的概念，比较难懂，而其实密码学中对这些概念并没有多少涉及，都是为了引出“有限域”这个概念，所以，我们先说有限域，在说“群、环、域”，如果不想理解“群、环、域”的概念，亦可。

1. 有限域：顾名思义，即范围是有限个的“域”（域的概念稍后解释），它有一个特点，有限域的大小是一个素数的若干次方。举例来说，比如10以内的非负整数，就是一个有限域。一般描述有限域，通过对整数取模（mod）的余数来表示，比如所有整数模5的结果，就是一个有限域（只包含0~4），这是5这个素数的1次方。
2. 幺元：如果对于一个二元运算+（注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，有一个数，对于其他任何数，通过这个二元运算之后，结果都是其他任何数本身，则称这个数是这个集合对于运算+的幺元。以加法为例，0就是在整数这个集合中，关于加法的幺元。
3. 零元：和幺元类似，不同处在于 是 有一个数，对于其他任何数，通过这个二元运算之后，结果都是这个数本身，则这个数是这个集合对于这个二元运算的零元。以乘法为例，0就是零元。
4. 逆元：有一个二元运算+（注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），如果a+a’=这个运算的幺元，那么，a与a’互为逆元。以加法为例，整数这个集合中，一个数和它的相反数互为逆元。
5. 群：群表示一种关系，定义一个集合s和一个操作+，注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算，如果这个集合中的元素，关于这个运算，满足结合律，每一个元素有逆元，整个集合有关于这个运算的幺元，则称，这个关系s,+是一个群。以加法为例，加法在整数这个集合上是一个群。
6. 环:如果有两个二元运算+,*(注意+,*并不是指一般意义的加法,乘法，它可以指代任何二元运算)，在一个集合上，一个二元运算满足可结合、可交换、有幺元，元素都有逆元，另一个二元运算满足可结合，则这个关系s,+，*是一个环
7. 整环：在环的定义中，只需满足了可结合的那个运算*（不一定是真正意义的惩罚），如果还满足了可交换、有幺元，对于a*b=0一定能推出a=0或b=0，则这个环是整环。
8. 域：如果一个整环，集合中有至少两个元素，且都有逆元，则是域
9. 伽罗华域：首先，这是一个有限域，其次，这个有限域是2的若干次方。密码学里常用的是2^8

再看有限域，以模5为例，0~4的计算结果也要模5，对于普通加法和乘法，可以证明（我其实不会证），这个关系<0~4,+,*>是一个域，且元素个数有限，所以是有限域。