数值分析实验(三)之常微分方程初值问题的数值解法

实验目的

编程实现以下算法：
1、用改进的欧拉（Euler）公式求解常微分方程初值问题。
2、用四阶龙格-库塔(Runge-Kutta)方法求解常微分方程初值问题。

欧拉公式求解y’=y-2x/y和y(0)=1在[0,1]上的结果
sy3_1.m

clear;
clc;
x0=0;
y0=1;
h=0.1;
N=10;
n=1;
X=[];
Y=[];
while n<=N
    x1=x0+h;
    yp=y0+h*(y0-2*x0/y0);
    yc=y0+h*(yp-2*x1/yp);
    y1=(yp+yc)/2;
    X=[X x1];
    Y=[Y y1];
    x0=x1;
    y0=y1;
    n=n+1;
end
X
Y

标准结果：
欧拉公式求解结果：

四阶龙格-库塔方法求解y’=y-2x/y和y(0)=1在[0,1]上的结果
sy3_2.m

clear;
clc;
x0=0;
y0=1;
h=0.1;
N=10;
n=1;
X=[];
Y=[];
while n<=N;
    x1=x0+h;
    K1=y0-2*x0/y0;
    K2=y0+h*K1/2-(2*x0+h)/(y0+h*K1/2);
    K3=y0+h*K2/2-(2*x0+h)/(y0+h*K2/2);
    K4=y0+h*K3-2*(x0+h)/(y0+h*K3);
    y1=y0+(K1+2*K2+2*K3+K4)*h/6;
    X=[X x1];
    Y=[Y y1];
    x0=x1;
    y0=y1;
    n=n+1;
end
X
Y

四阶龙格-库塔方法求解结果：