目录
- 什么是平衡二叉树？
- 在什么时候维护平衡？
- 插入的元素在不平衡节点左侧的左侧（LL）
- 插入的元素在不平衡节点右侧的右侧（RR）
- 插入的元素在不平衡节点左侧的右侧（LR）
- 插入的元素在不平衡节点右侧的左侧（RL）
什么是平衡二叉树？
为什么叫AVL树？
因为AVL树是由 G.M.Adelson-Velsky 和 E.M.Landis 这两位俄罗斯科学家在1962年的论文中首次提出，是最早的自平衡二分搜索树结构。
由于AVL树是自平衡二分搜索树，所以本质上还是二分搜素树，也就是二分搜索树的性质AVL树都满足，由于二分搜索树在添加有序元素时，会退化成链表，造成时间复杂度为O(n)，但AVL树是不会出现这种情况的，因为AVL树通过自平衡来解决了退化成链表的问题，关于二分搜索树，你可以看我之前二分搜索树(Binary Search Tree)这篇文章。
平衡二叉树：对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差都不能超过1。
为了更好的维护AVL树的自平衡，我们可以在每个节点中，标注该节点的高度，并计算该节点的平衡因子。平衡因子就是左子树的高度减去右子树的高度。
现在让我们来基于二分搜索树，代码实现一个AVL树，这里先实现一个二分搜索树，代码如下：
/**
* AVL树是基于之前实现的二分搜索树，只不过加了自平衡机制
* 因此AVL树中的元素仍然必须具有可比较性
* 这里把AVL树设计成键值对的形式，方便后续基于AVL树实现Set和Map
*/
public class AVLTree,V> {
//节点
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
//当前节点的高度
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree(){
root = null;
size = 0;
}
public boolean isEmpty(){
return this.size == 0;
}
//获取节点node的高度
public int getNodeHight(Node node){
if (node == null)
return 0;
return node.height;
}
//获取节点node的平衡因子
public int getBalanceFactor(Node node){
if (node == null)
return 0;
//平衡因子：左子树的高度 - 右子树的高度
return getNodeHight(node.left) - getNodeHight(node.right);
}
// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
// 更新height
node.height = 1 + Math.max(getNodeHight(node.left), getNodeHight(node.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
System.out.println("unbalanced : " + balanceFactor);
return node;
}
// 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null)
return null;
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
if (node == null)
return null;
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = remove(node.left, key);
return node;
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = remove(node.right, key);
return node;
} else { // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
}
由上述代码可以看出，我们并没有实现AVL树的自平衡机制，只是在二分搜索树的基础上，加入了对高度的维护，和获取平衡因子的方法。因为AVL树是对于二分搜索树的一种改进，只不过解决了退化成链表的问题，AVL树也是二分搜索树，所以也需要满足二分搜索树的性质。我们可以根据二分搜索树的中序遍历是顺序的性质，来判断是否是二分搜索树。代码实现如下：
// 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
public boolean isBST(){
List keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++)
if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
return false;
return true;
}
//二分搜素树的中序遍历 -- 递归实现
private void inOrder(Node node, List keys){
if(node == null)
return;
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
//判断该二叉树是否是一颗平衡二叉树
public boolean isBalanced(){
return isBalanced(root);
}
//判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树，递归算法
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null)
return true;
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
//判断当前节点的平衡因子是否大于1
if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
return false;
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
//获取节点node的高度
public int getNodeHight(Node node){
if (node == null)
return 0;
return node.height;
}
在什么时候维护平衡？
加入节点后，沿着节点向上维护平衡性。
插入的元素在不平衡节点左侧的左侧（LL）
对于这种情况我们就需要对这个不平衡节点进行右旋转（顺时针旋转）
右旋转代码实现：
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
//右旋转
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height
y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;
return x;
}
并在ALV树的添加方法和删除方法代码中，对数的平衡性进行维护：
// 平衡维护
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
return rightRotate(node);
插入的元素在不平衡节点右侧的右侧（RR）
对于这种情况我们就需要对这个不平衡节点进行左旋转
代码实现：
// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;
return x;
}
在我们的添加方法和删除方法中对树的平衡性进行维护：
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
return leftRotate(node);
插入的元素在不平衡节点左侧的右侧（LR）
对于这种情况我们需要先进行左旋转操作，转成LL的情况，再进行右旋转：
由于我们前面已经对左旋转何有旋转都已经代码实现了，所以对该情况，只需要添加和删除方法中，对树的平衡性进行维护即可：
//LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
插入的元素在不平衡节点右侧的左侧（RL）
对于这种情况我们需要先进行右旋转操作，转成LL的情况，再进行左旋转：
在添加和删除方法中，对树的平衡性进行维护：
//RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
下面是本文实现的AVL平衡二叉树的的全部代码：
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
/**
* AVL树是基于之前实现的二分搜索树，只不过加了自平衡机制
* 因此AVL树中的元素仍然必须具有可比较性
* 这里把AVL树设计成键值对的形式，方便后续基于AVL树实现Set和Map
*/
public class AVLTree,V> {
//节点
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
//当前节点的高度
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree(){
root = null;
size = 0;
}
public int getSize(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return this.size == 0;
}
// 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
public boolean isBST(){
List keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++)
if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
return false;
return true;
}
//二分搜素树的中序遍历 -- 递归实现
private void inOrder(Node node, List keys){
if(node == null)
return;
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
//判断该二叉树是否是一颗平衡二叉树
public boolean isBalanced(){
return isBalanced(root);
}
//判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树，递归算法
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null)
return true;
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
//判断当前节点的平衡因子是否大于1
if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
return false;
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
//获取节点node的高度
public int getNodeHight(Node node){
if (node == null)
return 0;
return node.height;
}
//获取节点node的平衡因子
public int getBalanceFactor(Node node){
if (node == null)
return 0;
//平衡因子：左子树的高度 - 右子树的高度
return getNodeHight(node.left) - getNodeHight(node.right);
}
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
//右旋转
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height
y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
// 更新height
node.height = 1 + Math.max(getNodeHight(node.left), getNodeHight(node.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
// if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
// System.out.println("unbalanced : " + balanceFactor);
// 平衡维护
//LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
return rightRotate(node);
//RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
return leftRotate(node);
//LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
//RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
return node;
}
// 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null)
return null;
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
if (node == null)
return null;
Node retNode;
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = remove(node.left, key);
// return node;
retNode = node;
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = remove(node.right, key);
// return node;
retNode = node;
} else { // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
// return rightNode;
retNode = rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
else if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
// return leftNode;
retNode = leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
else{
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
//successor.right = removeMin(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
// return successor;
retNode = successor;
}
}
if(retNode == null)
return null;
// 更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getNodeHight(retNode.left), getNodeHight(retNode.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
// 平衡维护
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
return rightRotate(retNode);
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
return leftRotate(retNode);
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
public static void main(String[] args){
System.out.println("Pride and Prejudice");
ArrayList words = new ArrayList<>();
if(FileOperation.readFile("pride-and-prejudice.txt", words)) {
System.out.println("Total words: " + words.size());
AVLTree map = new AVLTree<>();
for (String word : words) {
if (map.contains(word))
map.set(word, map.get(word) + 1);
else
map.add(word, 1);
}
System.out.println("Total different words: " + map.getSize());
System.out.println("Frequency of PRIDE: " + map.get("pride"));
System.out.println("Frequency of PREJUDICE: " + map.get("prejudice"));
System.out.println("is BST : " + map.isBST());
System.out.println("is Balanced : " + map.isBalanced());
for(String word: words){
map.remove(word);
if(!map.isBST() || !map.isBalanced())
throw new RuntimeException();
}
}
System.out.println();
}
}