每日一解 动态规划与新21点

题目——新21点

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

提示条件：
0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game

获取状态转移方程的思路

很明显，看一眼就意识到很可能要使用动态规划。但是动归确实是我个人很长时间都没有搞明白的一种算法，今天尝试着边学边解一下吧。
先写在前面，动态规划这个算法呢，我一直属于那种看完题解能明白思路，但是自己面对一个新问题确实是一点思路都没有的那种。感觉动态规划很多时候难度都是在状态转移方程上面，代码实现反而不是很难。

参照官方解法的思路，首先取临界值梳理一下思路，就不难找到正确的状态转移方程了。最常见的21点的临界值是17点，如果没记错的话，去赌场玩21点，庄家在不够17点的时候是必须要抽下一张牌的，那么不妨就用这个最常见的情况进行边界值处理，那么每次摸牌的值是在1—13之间，若此时牌正好是16点，可以得到下面的表格：

16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
当前值	胜利	胜利	胜利	胜利	胜利	爆炸	爆炸	爆炸	爆炸	爆炸	爆炸	爆炸	爆炸

表中已经表示的很明显了，也就是当摸牌摸到1—5的时候我们胜利，摸牌摸到6—K就自爆了。因此我们16点时摸牌胜利的概率是 $\frac{5}{13}$.稍微思考一下这个概率是怎么得到的，因为超过17点我们就不再摸牌了，那么不妨用下面的表格重新表示一下：

16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
$\frac{5}{13}$	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0

那么16点时获胜的概率 $\frac{5}{13}$是怎么得到的呢？当然是使用这样的公式得到的：$\frac{p(17)+p(18)+p(19)+p(20)+p(21)+p(22)+p(23)+p(24)+p(25)+p(26)+p(27)+p(28)+p(29)}{13}$ 反映在表格中就是：
$\frac{5}{13}=\frac{1+1+1+1+1+0+0+0+0+0+0+0+0)}{13}$
也就是说，16点时获胜的概率为：
$p(16)=\frac{p(17)+p(18)+\cdots +p(29)}{13}$
根据题目，将这个公式用题目中的字母进行替换，就可以得到在某一个点数n情况下的概率公式：
$p(n)=\frac{p(n+1)+p(n+2)+\cdots +p(n+W)}{W}$
其实这就已经是我们的状态转移方程了，但是为了确保能看懂这个公式，我们向前推一步，看一看15点的情况下，如下表：

15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
当前值	$\frac{5}{13}$	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0

假设此时摸到Ace也就是1点，进入16点的情况，那么直接$\frac{1}{13}\times \frac{5}{13}$，再加上后续的概率，可以得到如下的计算公式：
$p(15)=\frac{1}{13}\times \frac{5}{13}+\frac{(1+1+1+1+1+0+0+0+0+0+0+0)}{13}=\frac{\frac{5}{13}+(1+1+1+1+1+0+0+0+0+0+0+0)}{13}$
可以看出，15点的时候确实是符合这个状态转移方程的，14点以及以前的点数也自然依次类推。

代码实现

状态转移方程有了，代码实现也就水到渠成了。直接贴上个人的代码：

class Solution {
public:
	double new21Game(int N, int K, int W) {
		double *dp_array = new double[K + W + 1];
		for (int i = K; i <= K + W; i++) {
			i <= N ? dp_array[i] = 1 : dp_array[i] = 0;
		}//初始化一下后面W个点数的概率值
		for (int i = K - 1; i >= 0; i--) {
			double total = 0;
			for (int j = i + 1; j <= i + W; j++) {
				total += dp_array[j];
			}
			dp_array[i] = total / (double)W;
		}
		return dp_array[0];
	}
};

如果直接把这份代码提交，那么我们会惊奇的发现超出了时间限制。根据反馈的情况，在N，K和W分别为7687，6402和3302的时候，虽然能得到正确答案约为0.62165，但耗时达到了64ms，被判定为超时了。去继续看了下官方解答，确实还有很明显的优化空间。
以前面的p(15)为例，我们在计算时，一口气从p(16)加到了p(28)，再除以13。但是事实上，p(16)就是p(17)加到了p(29)再除以13的结果。所以我们可以这样计算：
$p(15)=p(16)+\frac{1}{13}\times p(16)-\frac{1}{13}\times p(29)$
于是就得到了新的便于计算的状态转移方程：
$p(n)=p(n+1)+\frac{p(n+1)}{W}-\frac{p(n+W)}{W}$
再使用这个方程对代码进行优化，就可以得到下面的最终代码了：

class Solution {
public:
	double new21Game(int N, int K, int W) {
		double *dp_array = new double[K + W + 1];
		for (int i = K; i <= K + W; i++) {
			i <= N ? dp_array[i] = 1 : dp_array[i] = 0;
		}//初始化一下后面W个点数的概率值
		for (int i = K - 1; i >= 0; i--) {
			if (i == K - 1) {
				double total = 0;
				for (int j = i + 1; j <= i + W; j++) {
					total += dp_array[j];
				}
				dp_array[i] = total / (double)W;
				continue;
			}//注意要初始化数组中K-1里的这个值，其他的计算是基于它的基础之上
			dp_array[i] = dp_array[i + 1] + dp_array[i + 1] / (double)W - dp_array[i + 1 + W] / (double)W;
		}
		return dp_array[0];
	}
};

状态转移方程的补充

下面是在官方题解下面看到的一个对状态转移方程的补充回复，看完以后感觉也不太可能写的比原回答更全面更好了，而且公式比较多，写上来也很费时费力。所以直接贴出来链接：

作者：sour-e
链接：怎样得到官方题解中的状态转移方程
来源：力扣（LeetCode）