深度学习权重参数初始化要点

今天做吴恩达深度学习第1课第4周的编程作业，参数初始化按照指南中“- Use random initialization for the weight matrices. Use np.random.rand(shape) * 0.01. ”进行操作，但计算无论怎样也不收敛：

Cost after iteration 0: 0.693148
Cost after iteration 100: 0.678011
Cost after iteration 200: 0.667600
Cost after iteration 300: 0.660422
Cost after iteration 400: 0.655458
Cost after iteration 500: 0.652013
Cost after iteration 600: 0.649616
Cost after iteration 700: 0.647942
Cost after iteration 800: 0.646770
Cost after iteration 900: 0.645947
Cost after iteration 1000: 0.645368
Cost after iteration 1100: 0.644961
Cost after iteration 1200: 0.644673
Cost after iteration 1300: 0.644469
Cost after iteration 1400: 0.644325
Cost after iteration 1500: 0.644223
Cost after iteration 1600: 0.644151
Cost after iteration 1700: 0.644100
Cost after iteration 1800: 0.644063
Cost after iteration 1900: 0.644037
Cost after iteration 2000: 0.644019

发现遇到了梯度消失的问题。权重w选取不当时，z=w*a[l-1]，a[l]=sigmoid(z)，z所在位置的梯度非常小，因此导致不收敛。

若选取合适的权重w，使得z的区间落在[-4,4]之间，梯度下降将比较快。

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神经网络，或者深度学习算法的参数初始化是一个很重要的方面，传统的初始化方法从高斯分布中随机初始化参数。甚至直接全初始化为1或者0。这样的方法暴力直接，但是往往效果一般。本篇文章的叙述来源于一个国外的讨论帖子[1]，下面就自己的理解阐述一下。

首先我们来思考一下，为什么在神经网络算法（为了简化问题，我们以最基本的DNN来思考）中，参数的选择很重要呢？以sigmoid函数（logistic neurons）为例，当x的绝对值变大时，函数值越来越平滑，趋于饱和，这个时候函数的倒数趋于0，例如，在x=2时，函数的导数约为1/10，而在x=10时，函数的导数已经变成约为1/22000，也就是说，激活函数的输入是10的时候比2的时候神经网络的学习速率要慢2200倍！

为了让神经网络学习得快一些，我们希望激活函数sigmoid的导数较大。从数值上，大约让sigmoid的输入在[-4,4]之间即可，见上图。当然，也不一定要那么精确。我们知道，一个神经元j的输入是由前一层神经元的输出的加权和，xj=∑iai⋅wi+bjxj=∑iai·wi+bj。因此，我们可以通过控制权重参数初始值的范围，使得神经元的输入落在我们需要的范围内。

一种比较简单、有效的方法是：权重参数初始化从区间均匀随机取值。

为了说明这样取值的合理性，先简单回顾一下几点基本知识：

1.符合均匀分布U（a,b）的随机变量数学期望和方差分别是——数学期望：E(X)=(a+b)/2，方差：D(X)=(b-a)²/12

2.如果随机变量X,Y是相互独立的，那么Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)，如果X,Y是相互独立的且均值为0，那么Var(X*Y) = Var(X)*Var(Y)

因此，如果我们限制神经元的输入信号(xi

xi)是均值=0，标准差=1的，那么

---

也就是说，随机的d个输入信号加权和，其中权重来自于(−1d√,1d√)(−1d,1d)均匀分布，服从均值=0，方差=1/3的正态分布，且与d无关。所以神经元的输入落在区间[-4,4]之外的概率非常小。

---

更一般的形式可以写为： 

-------------------------------------------------------------------------------------------------

总结：在实践中可以使用np.random.randn(shape)正态分布，虽然其方差为1，大于均匀分布U(-1,1)的方差1/3，但在区间[-4,4]之内还有足够冗余，落在3σ之外概率很小。另外虽然输入信号X不服从均值=0，标准差=1的均匀分布，但其已经归一化，在区间（0,1）之间，可以近似认为服从均值在0.3-0.7之间，方差≈0.5的正态分布，因此对z的分布影响不太大。

因此，在权重参数初始化时，除以√d一般就满足了Z的合理分布，不至于梯度消失。

效果：

将 parameters['W'+ str(l)]=np.random.randn(layer_dims[l],layer_dims[l-1])*0.01

改成 parameters['W'+ str(l)]=np.random.randn(layer_dims[l],layer_dims[l-1])/np.sqrt(layer_dims[l-1]) 后，

损失函数明显收敛。

Cost after iteration 0: 0.715732
Cost after iteration 100: 0.674738
Cost after iteration 200: 0.660337
Cost after iteration 300: 0.646289
Cost after iteration 400: 0.629813
Cost after iteration 500: 0.606006
Cost after iteration 600: 0.569004
Cost after iteration 700: 0.519797
Cost after iteration 800: 0.464157
Cost after iteration 900: 0.408420
Cost after iteration 1000: 0.373155
Cost after iteration 1100: 0.305724
Cost after iteration 1200: 0.268102
Cost after iteration 1300: 0.238725
Cost after iteration 1400: 0.206323
Cost after iteration 1500: 0.179439
Cost after iteration 1600: 0.157987
Cost after iteration 1700: 0.142404
Cost after iteration 1800: 0.128652
Cost after iteration 1900: 0.112443
Cost after iteration 2000: 0.085056
Cost after iteration 2100: 0.057584
Cost after iteration 2200: 0.044568
Cost after iteration 2300: 0.038083

Cost after iteration 2400: 0.034411