计算几何作业（上）
好多HDU的题，我想死。
HDU 6325 Problem G. Interstellar Travel
求从左到右字典序最小上凸壳，注意这个题不能选多个重点。
A C C o d e \mathcal AC \ Code AC Code
#includeHDU 2202 最大三角形
求 n n n个点中选三个点的最大三角形面积。
首先存在一个最大三角形三个点都在凸包上。
求出凸包后有 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的旋转卡壳和 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)的暴力枚举算法。
但是他们都能过。
这是因为这道题有一个性质是 x , y ∈ N ∧ − 1 e 4 ≤ x , y ≤ 1 e 4 x,y \in \N \wedge -1e4 \leq x , y \leq 1e4 x,y∈N∧−1e4≤x,y≤1e4
设 C = 1 e 4 C = 1e4 C=1e4
有一个结论就是凸包上的点数上界是 O ( C 2 3 ) O(C^\frac 23) O(C32)（期望点数是 O ( log C ) O(\log C) O(logC)的）
首先很多构造凸包的想法都是 O ( C 1 2 ) O(C^\frac 12) O(C21)的，
证明思路应该是有效的斜率只有 O ( C 2 3 ) O(C^\frac 23) O(C32)种（具体证明应该和 S t e r n − B r o c o t T r e e Stern-Brocot\ Tree Stern−Brocot Tree有关，也就是和最简分数有关其实就是我不会），这是答案的上界。
然后这里给出一个构造：
造一个 x 2 + y 2 ≤ C 2 x^2 + y^2 \leq C^2 x2+y2≤C2的圆，把圆内所有顶点造个凸包，容易发现这个凸包的点数就是 O ( n 2 3 ) O(n ^ \frac 23) O(n32)级别的。
这东西怎么网上一点提示都没有啊啊啊啊啊啊啊啊啊连CF出题人都敷衍了事这莫非是什么离谱的openproblem吗
A C C o d e \mathcal AC \ Code AC Code
#includeHDU 1392 Surround the Trees
垃圾题目，题意有病，建议出题人审视一下自己的conscience
A C C o d e \mathcal AC \ Code AC Code
#includeHDU 1469 Video Surveillance
求多边形的核。
注意到Thus the edges alternate between horizontal and vertical.
所以为什么要写半平面交呢？
A C C o d e \mathcal AC \ Code AC Code
#includeHDU 5462 Manors
n n n个人，每个人有 m m m个旗子坐标为 x i , j , y i , j x_{i,j},y_{i,j} xi,j,yi,j，求在 409 5 2 4095^2 40952 的土地上每一个点 x , y x,y x,y按照 f i ( x , y ) f_i(x,y) fi(x,y)计算的最小的那个 i i i就是这个位置的主人，求每个人的土地大小。
f i ( x , y ) = m x 2 + m y 2 − 2 x ∑ j x i , j − 2 y ∑ j y i , j + ∑ j x i , j 2 + y i , j 2 f_i(x,y) = mx^2+my^2-2x\sum_{j}x_{i,j}-2y\sum_{j}y_{i,j}+\sum_{j}x_{i,j}^2+y_{i,j}^2 fi(x,y)=mx2+my2−2x∑jxi,j−2y∑jyi,j+∑jxi,j2+yi,j2
f i ( x , y ) − f k ( x , y ) = − 2 ∑ j ( x i , j − x k , j ) x − 2 ∑ j ( y i , j − y k , j ) y + ∑ j ( x i , j 2 + y i , j 2 − x k , j 2 − y k , j 2 ) ≤ 0 f_i(x,y) - f_k(x,y) = -2\sum_{j}(x_{i,j} - x_{k,j})x -2\sum_{j}(y_{i,j}-y_{k,j})y+\sum_{j}(x_{i,j}^2+y_{i,j}^2-x_{k,j}^2-y_{k,j}^2) \leq 0 fi(x,y)−fk(x,y)=−2∑j(xi,j−xk,j)x−2∑j(yi,j−yk,j)y+∑j(xi,j2+yi,j2−xk,j2−yk,j2)≤0
半平面交即可得到面积。
A C C o d e \mathcal AC \ Code AC Code
#includeHDU 4327 Shooting
在 [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] [0,1]\times [0,1] [0,1]×[0,1]的平面内每个点 ( x , y ) (x,y) (x,y)有个权重 f ( x , y ) = 2 − x − y f(x,y) = 2 - x - y f(x,y)=2−x−y，平面内有 n n n个点 { p i } \{p_i\} {pi}，现在在平面上带权随机选择一个点，问离这个点最近的点是 p i p_i pi的概率。
和上题基本一样，半平面交求出每个点的范围后求积分：
假如是 S ( a , b ) , T ( c , d ) S(a,b),T(c,d) S(a,b),T(c,d)，求线段 S → T S\rightarrow T S→T下的带权积分。
∫ x = a b ∫ y = 0 c + ( d − c ) ( x − a ) b − a 2 − x − y d x d y \int_{x=a}^b \int_{y=0}^{c + \frac {(d-c)(x-a)}{b-a}} 2-x-y{\rm d}x{\rm d}y ∫x=ab∫y=0c+b−a(d−c)(x−a)2−x−ydxdy
形式不太优美，设 y = k x + B y = kx + B y=kx+B
原式分成三部分：
∫ x = a b ∫ y = 0 k x + B 2 = ( b − a ) ( d + c ) \int_{x=a}^b \int_{y=0}^{kx+B} 2 = (b-a)(d+c) ∫x=ab∫y=0kx+B2=(b−a)(d+c)
∫ x = a b − x ∫ y = 0 k x + B 1 = ∫ x = a b − k x 2 − B x = k ( a 3 − b 3 ) 3 + ( a 2 − b 2 ) B 2 \int_{x=a}^b -x \int_{y=0}^{kx+B} 1=\int_{x=a}^b -kx^2-Bx = \frac {k(a^3-b^3)}3 + \frac{(a^2-b^2)B}2 ∫x=ab−x∫y=0kx+B1=∫x=ab−kx2−Bx=3k(a3−b3)+2(a2−b2)B
− ∫ x = a b ∫ y = 0 k x + B y = − ∫ x = a b k 2 x 2 + B 2 2 + k B x = k 2 ( a 3 − b 3 ) 6 + B 2 ( a − b ) 2 + k B ( a 2 − b 2 ) 2 -\int_{x=a}^b\int_{y=0}^{kx+B} y = -\int_{x=a}^b \frac {k^2x^2+B^2}2+kBx = \frac {k^2(a^3-b^3)}6+\frac {B^2(a-b)}2 + \frac {kB(a^2-b^2)}2 −∫x=ab∫y=0kx+By=−∫x=ab2k2x2+B2+kBx=6k2(a3−b3)+2B2(a−b)+2kB(a2−b2)
然后就硬算即可。
A C C o d e \mathcal AC \ Code AC Code
#includeHDU 6354 Everything Has Changed
用一堆圆来切割一个圆心为原点，半径为R的圆A，问切割完毕后圆A外围剩余部分的周长。
注意到题目中所有圆都只会和大圆 A A A相交，所以直接判断相交后加入大圆被删去的部分加回小圆加入的部分。
C o d e Code Code
#include