四种二维傅里叶变换对

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1807年，法国数学家、物理学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）提出了傅里叶变换（Fourier Transform, FT）。

傅里叶变换是可以推广到2维甚至更高的维度的，我们通常常用二维的就够了，因为图像常被考虑为二维离散数据。根据二维数据的连续/离散（continuous， discrete）和周期/非周期（Aperiodic ，periodic），二维FT可以分为四种：

1. 连续非周期信号—>频谱也是连续非周期
   $$F(u,v)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$$
   $$f(x,y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$$
   u是x方向的空间频率，v是y方向的空间频率，F(u,v)是二维频谱。

逆变换的物理意义：原信号$f(x,y)$是复指数$e^{j2\pi (ux+vy)}$的线性组合，权重是复数$F(u,v)$

2. 连续周期信号—>频谱也是离散非周期
   $$F(k,l)=\frac{1}{XY}{\int }_0^X{\int }_0^Y{f}_{XY}(x,y)e^{j2\pi (kx{u}_0+ly{v}_0)}dxdy$$
   $$f_{XY}(x,y)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\sum _{l=-\infty }^{+\infty }F(k,l)e^{-j2\pi (kx{u}_0+ly{v}_0)}$$

X,Y是信号在两个方向的周期，$u_0=\frac{1}{X},v_0=\frac{1}{Y}$是频谱$F(k,l)$的连续采样的间隔。

3. 离散非周期信号—>频谱也是连续周期

$$F(u,v)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f[m,n]e^{-j2\pi (um{x}_0+vn{y}_0)}$$
$$f[m,n]=\frac{1}{UV}{\int }_0^U{\int }_0^{V}F(u,v)e^{j2\pi (um{x}_0+vn{y}_0)}dudv$$
$x_0和y_0$分别是x,y方向的连续采样的空间间隔，$U=\frac{1}{x_0},V=\frac{1}{y_0}是频谱F(u，v)$的周期，也是两个方向的采样率。

4. 离散周期信号—>频谱也是离散周期（已归一化）
   $$F[k,l]=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}f[m,n]e^{-j2\pi (\frac{mk}{M}+\frac{nl}{N})}$$
   $$f[m,n]=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum _{l=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{M-1}F[k,l]e^{j2\pi (\frac{mk}{M}+\frac{nl}{N})}$$
   $$0\le m,k\le M-1,0\le n,l\le N-1$$
   M,N分别是空域的x,y方向的采样点数，也是频域的x,y方向的采样点数。
   $$M=X/x_0=U/u_0,N=Y/y_0=V/v_0$$
   $F[k,l]$是二维离散频谱，它和$f[m,n]$均可被看作是$M\ast N$矩阵的元素。