DFS序——树链剖分前驱知识
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定义：dfs序：每个节点在dfs深度优先遍历中的进出栈的时间序列。
性质：dfs序可以把一棵树区间化，即可以求出每个节点的管辖区间。
对于一棵树的dfs序而言，同一棵子树所对应的一定是dfs序中连续的一段。
dfs序的七个基本问题：
定义：dfs序：每个节点在dfs深度优先遍历中的进出栈的时间序列。
定义两个数组，in[x]，out[x]。dfs从根结点开始，每个结点分别记录两个信息：in[x]，out[x]，in[x]为dfs进入结点x时的时间戳，out[x]为dfs离开结点x时的时间戳。
dfs序的基本代码：
void dfs(int x,int pre,int d){//L,R表示一个子树的范围 L[x]=++tot; dep[x]=d; for(int i=0;i
dfs序就是： 
性质：dfs序可以把一棵树区间化，即可以求出每个节点的管辖区间。
对于一棵树的dfs序而言，同一棵子树所对应的一定是dfs序中连续的一段。
如下图，DFS之后，那么树的每个节点就具有了区间的性质。 
dfs序的七个基本问题：
ps:deep[x]为x的深度，l[x]为dfs序中x的位置，r[x]为dfs序中x子树的结束位置
1.点修改，子树和查询
在dfs序中，子树处于一个连续区间中。所以这题可以转化为：点修改，区间查询。用树状数组或线段树即可。
例：poj3321 Apple Tree
链接：邻接表数组实现详解
//dfs序+树状数组
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 500005;
struct Edge{ //邻接表——数组实现 (链式前向星)
int to,next;
}edge[N];
int head[N],tot,d[N];
int in[N],out[N]; //in[i]:dfs第一次进入顶点i的时间戳，in[i]为dfs离开该节点的时间戳
bool have[N];
int cnt;
void init(){
tot = 0;
cnt = 0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(d,0,sizeof(d));
}
void addEdge(int u,int v,int &k){
edge[k].to = v;
edge[k].next = head[u]; //edge[k].next存储的是编号为i的边的（同样以u为起始点的）前一条边的编号
head[u] = k++; //最后一条以u为起始点的边的编号
}
void dfs(int u){ //dfs序
in[u] = ++cnt;
for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next){
dfs(edge[k].to);
}
out[u] = cnt;
}
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
int sum(int x){
int res = 0;
while(x){
res+=d[x];
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
void update(int x,int v){
while(x<=cnt){
d[x]+=v;
x+=lowbit(x);
}
}
int main()
{
int n,m;
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
init();
for(int i=0;i 2.树链修改，单点查询
将一条树链x,y上的所有点的权值加v。这个问题可以等价为：
1）.x到根节点的链上所有节点权值加v。
2）.y到根节点的链上所有节点权值加v。
3）.lca（x,y）到根节点的链上所有节点权值和减v。
4）.fa(lca(x,y))到根节点的链上所有节点权值和减v。
上面四个操作可以归结为：节点x到根节点链上所有节点的权值加减v。修改节点x权值，当且仅当y是x的祖先节点时，x对y的值有贡献。
所以节点y的权值可以转化为节点y的子树节点贡献和。从贡献和的角度想：这就是点修改，区间和查询问题。
修改树链x,y等价于add(l[x],v),add(l[y],v),add(l[lca(x,y)],-v),add(l[fa(lca(x,y))],-v)。
查询：get_sum(r[x])-get_sum(l[x]-1)
用树状数组或线段树即可。
3.树链修改，子树和查询
树链修改部分同上一问题。下面考虑子树和查询问题：前一问是从贡献的角度想，子树和同理。
对于节点y其到根节点的权值和，考虑其子节点x的贡献：w[x]*(deep[x]-deep[y]+1) = w[x]*(deep[x]+1)-w[x]*deep[y]
所以节点y的子树和为：
ps:公式中的v[i]为手误，应为w[i]。
所以用两个树状数组或线段树即可：
第一个维护∑w[i]*(deep[i]+1):支持操作单点修改，区间和查询。（这也就是问题2）
第二个维护∑ w[i]：支持操作单点修改，区间查询。（这其实也是问题2）
4.单点更新，树链和查询
树链和查询与树链修改类似，树链和(x,y)等于下面四个部分和相加：
1）.x到根节点的链上所有节点权值加。
2）.y到根节点的链上所有节点权值加。
3）.lca（x,y）到根节点的链上所有节点权值和的-1倍。
4）.fa(lca(x,y))到根节点的链上所有节点权值和的-1倍。
所以问题转化为：查询点x到根节点的链上的所有节点权值和。
修改节点x权值，当且仅当y是x的子孙节点时，x对y的值有贡献。
差分前缀和，y的权值等于dfs中[1,l[y]]的区间和。
单点修改：add(l[x],v),add(r[x]+1,-v);
5.子树修改，单点查询
修改节点x的子树权值，在dfs序上就是区间修改，单点权值查询就是单点查询。
区间修改，单点查询问题：树状数组或线段树即可;
6.子树修改，子树和查询
题目等价与区间修改，区间查询问题。用树状数组或线段树即可。
7.子树修改，树链查询
树链查询同上，等价为根节点到y节点的链上所有节点和问题。
修改节点x的子树权值，当且仅当y是x的子孙节点时（或y等于x），x对y的值有贡献。
x对根节点到y节点的链上所有节点和的贡献为：w[x]*(deep[y]-deep[x]+1)=w[x]*deep[y]-w[x]*(1-deep[x])
同问题三，用两个树状数组或线段树即可。
参考文章：树 DFS序 详解[完全版]
初学dfs序
DFS序详解
dfs序的七个基本问题来源如下
作者：weeping
出处：www.cnblogs.com/weeping/
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