最近点对算法

最近点对算法

问题描述

二维平面上n个点，求最近的两点距离？

如例：

    P1 (1，0)、P2 (2，4)、P3 (3，4)
    P4 (3，5)、P5 (3，1)、P6 (5，6)
    P7 (6，3)、P8 (7，1)、P9 (7，2）

最短距离点对有3对，(P2,P3)、(P3,P4)、(P8,P9),最短距离为1.

方法一：蛮力法

• 两遍循环，枚举任意两点P[i] 、P[j] (i ≠ j) ，求出距离，一一比较，得到最短距离mind.

• 时间复杂度：两重循环，$O(n^2)$.

  暴力法：ClosePoint(P[],n)
  /*
  *输入： 点{x,y}数组P及个数n
  *输出： 输出最近的两点距离
  */
  if n < 2 then   //无点对
  	return INF 
  endif
  
  if n = 2 then  //返回仅有两点距离
  	return dist{P[0],P[1]}
  endif
  
  mind <-- INF  // 标记：最短距离
  for i = 1 to n-1 do
  	for j = i + 1 to n do
  		mind <-- min{ dist{P[i],P[j]} , mind}
  return mind
  

方法二：分治法

• 点按x大小排序，以中间点P[mid]的x为划分线m，将全部点均分为左右两部分；
• 分治处理左右子问题，得到左部点集、右部点集点对最近距离$dl、dr$,取最小值d=min { dl，dr } ；

• 剩下来,仅需考虑左部点P和右部点Q距离小于d的情况，问题归纳为：

  求左侧点集P={p|m-d<=p.x<=m}和右侧点集Q={q|m

• 乍一分析，好像还是每层递归都是两重循环，共$logn$反而时间复杂度变为了$O(n^{2}logn)$,放图：

• 如图，左侧点P $(mid-d<=P.x<=mid)$，与右侧区域点Q $(mid<Q.x<=mid+d)$，两点距离dist小于d的点Q最多有6个，道理很简单，将可能区域$d\ast 2d$ 划分成6个大小相同的$ d /2 * 2d/3 $，矩形内两点的距离必定小于d，因右部区域两点铁定不超过d，那么一个矩形内绝对不存在两点，即Q最多6个.

• 每层递归时间复杂度控制在$O(n)$，$logn$层递归树，时间复杂度为$O(nlogn)$

  分治法：ClosePoint(left,right)
  /*
  *输入： 排序后的点P[left…right]
  *输出： 输出点集[left…right]最近的两点距离
  */
  if left = right then //无点对
  	return INF
  endif
  
  if left + 1 = right then //返回仅有两点距离
  	return dist{P[left],P[right]}
  endif
  
  mid <-- (left+right)/2
  m   <-- P[mid].x //划分线
  
  dl  <-- ClosePoint(left,mid)
  dr  <-- ClosePoint(mid+1,right)
  d   <-- min {dl,dr}
  mind <-- d //标记最小值
      
  S1 <-- {P|m-d <= P.x <= m}
  for each p ∈ S1 do
      for each q ∈ {Q|d<Q.x<=m+d and p.x-d <= Q.y <= p.x+d} do//Q集最多6个点
      	mind <-- min{ mind , dist{p,q}}
  return mind

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