计算机图形学：考题预测

绘图工具

窗口到视口的变换，（x，y）→（sx，sy）（Wl，Wr，Wb，Wt）→（Vl，Vr，Vb，Vt）

sx=Ax+C，sy=By+D，Vl=AWl+C，Vr=AWr+C，A=（Vr-Vl）/（Wr-Wl），C=Vl-AWl=（WrVl-WlVr）/（Wr-Wl）

宽高比：if world aspect ratio R>W/H，viewport（0，W，0，W/R）else viewport（0，H✖️R，0，H）

Cohen-Sutherland 裁剪算法

do{
    形成p1，p2的码字（e.g. FTFT）
    if 平凡接受 return 1（case FFFF && FFFF）
    if 平凡拒绝 return 0（case p1 and p2 has same T）
    将线段在下一个窗口处阶段（最多循环4次，在4个边界处截断：根据比例关系重新计算 x 值或 y 值）
}while(1);

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向量工具

向量的点乘：求向量的夹角 cos θ

向量的叉乘：应用矩阵，计算向量之间的面积

$|a-b{|}^2=|a{|}^2-2a\cdot b+|b{|}^2$

向量的分解：c=k·v+m·v⊥，同乘 v 或 v⊥，得到 k=c·v/v·v，m=c·v⊥/v⊥·v⊥，distance=m·v⊥

向量的反射：r-a=2（-a·n）·n → r=a-2（a·n）·n

点的任意仿射组合是一个合理的点，E=fP+gR（f+g=1），证明：坐标系平移 u 后，E’=E+u=fP+gR+（f+g）u

点与向量的和与点的仿射组合等价：P=A+t（B-A）== P=tB+（1-t）A

直线：l（t）=C+b·t，fx+gy=1，n·（R-C）=0

平面：p（s，t）=C+s·a+b·t，p（s，t）=sA+tB+（1-s-t）C

判断平面多边形的凸性：所有相邻边向量的叉乘都指向平面的内侧或外侧

判断点Q是否在凸多边形内：对凸多边形每个点Pi，（Q-Pi）·ni<0

凸多边形和线段的裁剪算法：enter：t-in=max（t-in，t-hit），exit：t-out=min（t-out，t-hit）

线性插值：lerp（a，b，t）= a +（b-a）t = a（1-t）+ bt

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矩阵工具

矩阵求逆：增广矩阵A|E通过初等（行）变换，代数余子式转置得伴随矩阵 A*：aij=Mji/|M|

矩阵分块求逆：$「A、b{|}^{-1}「A^{-1}、-A^{-1}\cdot b|$

矩阵分块求逆：$|0、1」\to |0、1」$

正交矩阵：各行（列）相互正交 == $A^T=A^{-1}$

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仿射变换

基本仿射变换：平移，旋转（c，-s，0；s，c，0；0，0，1），放缩，剪切，逆变换

仿射变换组合

绕任一点旋转（平移 - 的点左边，旋转，平移回去）

关于过原点直线的反射（旋转角度到 x 轴，关于 x 轴反射：即 【1，-1】的缩放，旋转回去）

仿射变换的性质：证明的话针对每一种基本仿射变换证明

保持点的仿射组合

保持共线和共面的关系

保持直线和平面的平行性

矩阵的列揭示了变换后的坐标系

保持相互比例

经矩阵 M 仿射变换后面积为原来的 |det M| 倍

每一个仿射变换都由基本仿射变换组成

三维仿射变换关于某一坐标轴的旋转（y-roll：c，s；-s，c）

关于任意轴的旋转（欧拉定理：关于某个点的任何旋转等价于绕通过此点的某个轴的单一旋转）

经典方法：先变换到某一坐标轴，基本旋转，逆变换，Ru（ß）=Ry（-θ）Rz（φ）Rx（ß）Rz（-φ）Ry（θ）

构造性方法：找出旋转轴和旋转角度

坐标系变换：（i’,j’,k’）= M（i,j,k）（a,b,1）= M（c,d,1）due to ai=ci’=cMi

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相机

根据up、eye、look 计算 n、u、v，归一化！！！

世界坐标到相机坐标的转换矩阵

移动摄像机：eye+=u+v+n，look+=u+v+n，up 不变

旋转摄像机：u’= cos（α）u + sin（α）v、v’= -sin（α）u + cos（α）v

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透视投影

点的透视投影：（x*，y*）=（NPx/（-Pz），NPy/（-Pz））

证明：通过从原点到 P 点的光线和视平面的交点 A

光线 t=0 在原点，t=1 在 P 点，参数方程为 r（t）= Pt

Pt0=A，Pzt0=Az=-N，t0=-Pz/N

直线的透视投影：P（t）= A+ct，P（t）=（N（Ax+cxt）/（-Az-czt），N（Ay+cyt）/（-Az-czt））

证明！！！

若直线平行于视平面：cz=0，P（t）= N/-Az（Ax+cxt，Ay+cyt）

若直线不平行于视平面：P（无穷）=（Ncx/-cz，Ncy/-cz）（直线的灭点）

增加伪深度：（x*，y*，z*）=（NPx/（-Pz），NPy/（-Pz），（aPz+b）/-Pz）

从 N 到 F，伪深度从-1到1，所以 a= -（F+N）/（F-N），b= -2FN/（F-N）

使用齐次坐标

透视变换和正交投影

透视变换的几何性质

通过视点的直线被映射为平行于 z 坐标轴的直线

证明：这种直线上的所有点都被映射为视平面上的同一点（x*，y*），z* 取遍-1到1

与 z 坐标轴垂直的直线映射后依然垂直于 z 坐标轴

证明：这种直线上的点具有相同的 z 值，所以映射后也有相同的伪深度值

透视矩阵：平移（-（l+r）/2，-（b+t）/2）缩放（2/（r-l），2/（t-b））

使用正则视景体 CVV 对面片进行裁剪 AC：A+（C-A）t

以 x=-1 为例：ax/aw>-1 即 BCo= ax+aw>0

直线在内，平凡接受：两个端点都在 CVV 内，12个 BC 值为正

直线在外，平凡拒绝：两个端点都同一个平面外

计算相交 t 值，以 x=1 为例：（ax+（cx-ax）t）/（aw+（cw-aw）t），t=（aw-ax）/（（ax-ax）-（cw-cx））

视口变换：照相机宽高比（近平面宽高比） → 正则宽高比（1.0） → 视口宽高比

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纹理映射

为什么不能线性插值：投影后面片上相等的间隔并不对应于三维面片上相等的间隔（近大远小）

颜色线性插值

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曲线设计

德卡斯特里奥算法

三点：$F（u）=（1-u{）}^{2}P0+2u（1-u）P1+u^{2}P2$

四点：$F（u）=（1-u{）}^{3}P0+3u（1-u{）}^{2}P1+3u^2（1-u）P1+u^{3}P3$

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图形绘制管道

M：仿射变换

V：相机矩阵

Shade：着色

Perspective transformation：透视矩阵

clip：裁剪

Perspective division：透视除法

viewport：窗口到视口的映射

screen

每个顶点 V 附带着纹理对（s，t）和一个顶点法向 n。顶点通过模式视点矩阵变换，产生视点坐标系下的顶点 A 和法向 n’。计算着色时使用这个法向，产生颜色 c。顶点经过透视变换，产生 a~ =（a1，a2，a3，a4），纹理坐标和颜色 c 并没有改变。（裁剪后的点加上一个1计算出来的 1/a4 在计算双线性插值时使用）

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附录