KobeDuu
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POJ---2417：Discrete Logging【BSGS算法】

题意：

a^x\equiv n~(mod~p)

p为素数且a，p互质，求最小的 x 满足上述同余方程

分析：

BSGS算法：

当 p为素数且a，p互质，有费马小定理：a^{p-1}\equiv 1~(mod~p)，而 a^0\equiv 1~(mod~p)，所以在模p下有长度为P-1的循环节

若原方程有解，则最小的 x 必然在【0，p -1】内

令 m=\left \lceil\sqrt{p} \right \rceil，x=i*m-j，i\in [1,m]，j\in [0,m-1]，则：

a^{i*m-j}\equiv n~(mod~p)

a^{i*m}\equiv n*a^j~(mod~p)

i，j的范围很小，于是枚举j，将 n*a^j 存入hash表，hash[n*a^j ] = j，

枚举 i ，若a^i*m 的值在hash表中存在，则找到 x 的最小值为 i*m - j；

不难看出，i*m-j 能表示所有在【0，p-1】内的数，如果枚举完 i 都还没有找到，则无解

在用map标记时，j = 0无法标记，通常将 j 枚举到m，i枚举到m+1

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
int a,p,c;
ll qpow(ll a,ll x)
{
    ll res = 1;
    while(x){
        if(x&1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        x >>= 1;
    }
    return res%p;
}
int BsGs()
{
    map mp;
    int k = sqrt(p*1.0) + 0.5;
    ll v = c;
    for(int j = 1; j <= k ; ++j){
       v =  v * a % p;
       mp[v] = j;
    }
    v = qpow(a,k);
    ll vv = 1;
    for(int i = 1; i <= k; ++i){
         vv = vv * v % p;
         if(mp[vv]) return i * k - mp[vv];
    }
    return -1;
}
int main()
{
    while(cin>>p>>a>>c)
    {
        int ans = BsGs();
        if(ans == -1) cout<<"no solution"<

 

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