含指数函数的不定积分方法归纳
本篇博客参照了河北大学数计学院时坚所著的《含指数函数的不定积分方法归纳》，并在其基础上做了拓展。
不定积分为数学分析中一类重要的内容，其积分技巧和方法在几百年来一步步得到深入研究和探索。而含指数函数的不定积分为积分学中一大类重要积分，其积分方法多种多样，活灵活现，现将其归纳如下：
一、被积函数为复合函数，且该复合函数的内函数为指数函数时，利用该指数函数作为过渡，再利用凑微分法即可。
- 例1.1： ∫ 1 1 + e x d x \int \frac{1}{1+e^{x}} d x ∫1+ex1dx
解：
∫ 1 1 + e x d x = ∫ e x d x e x ( 1 + e x ) = ∫ d e x e x ( 1 + e x ) = ∫ ( 1 e x − 1 1 + e x ) d e x = x − ln ( 1 + e x ) + C \begin{aligned} \int \frac{1}{1+e^{x}} d x &=\int \frac{e^{x} d x}{e^{x}\left(1+e^{x}\right)}=\int \frac{d e^{x}}{e^{x}\left(1+e^{x}\right)} \\ &=\int\left(\frac{1}{e^{x}}-\frac{1}{1+e^{x}}\right) d e^{x}=x-\ln \left(1+e^{x}\right)+C \end{aligned} ∫1+ex1dx=∫ex(1+ex)exdx=∫ex(1+ex)dex=∫(ex1−1+ex1)dex=x−ln(1+ex)+C
- 例1.2 ： ∫ e x e x + e − x d x \int \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} d x ∫ex+e−xexdx
解：
∫ e x e x + e − x d x = ∫ e 2 x e 2 x + 1 d x = 1 2 ∫ d e 2 x e 2 x + 1 = 1 2 ln ( 1 + e 2 x ) + C \int \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} d x=\int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1} d x=\frac{1}{2} \int \frac{d e^{2 x}}{e^{2 x}+1}=\frac{1}{2} \ln \left(1+e^{2 x}\right)+C ∫ex+e−xexdx=∫e2x+1e2xdx=21∫e2x+1de2x=21ln(1+e2x)+C
以上两个例子说明，对于复合函数中内函数为指数函数的分部积分，主要是凑出指数函数的形式，继而进行进一步的求解。
二、当被积函数为指数函数和其它初等函数的乘积时，可用分部积分法。
- 例2： ∫ x e x d x \int x e^{x} d x ∫xexdx
解：
∫ x e x d x = ∫ x d e x = x e x − ∫ e x d x = x e x − e x + C \int x e^{x} d x=\int x d e^{x}=x e^{x}-\int e^{x} d x=x e^{x}-e^{x}+C ∫xexdx=∫xdex=xex−∫exdx=xex−ex+C
事实上，对于这样的情形，无论是指数函数和幂函
数，抑或是指数函数和三角函数，还是和其它初等函数，都采用分部积分法。这些分部积分方法在一般的数学分析教材中可常见。值得注意的是，在含有指数函数和其它函数乘积的分部积分的过程中，对于常用的分部积分公式 ∫ u v ′ d x = ∫ u d v = u v − ∫ v d u = u v − ∫ v u ′ d x \int u v^{\prime} d x=\int u d v=u v-\int v d u=u v-\int v u^{\prime} d x ∫uv′dx=∫udv=uv−∫vdu=uv−∫vu′dx，一般令 v v v 为指数函数。
三、当被积函数可化为某可导函数及其导函数之和与指数函数的乘机时，可用下面的推导公式。
∫ [ f ( x ) + f ′ ( x ) ] e x d x = ∫ [ e x f ( x ) ] ′ d x = e x f ( x ) + C ( ∗ ) \int\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] e^{x} d x=\int\left[e^{x} f(x)\right]^{\prime} d x=e^{x} f(x)+C \ (*) ∫[f(x)+f′(x)]exdx=∫[exf(x)]′dx=exf(x)+C (∗)
- 例3.1： ∫ x e x ( 1 + x ) 2 d x \int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x ∫(1+x)2xexdx
解：
∫ x e x ( 1 + x ) 2 d x = ∫ [ 1 1 + x − 1 ( 1 + x ) 2 ] e x d x = ∫ [ 1 1 + x + ( 1 1 + x ) ′ ] e x d x = e x 1 + x + C \begin{aligned} \int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x&=\int\left[\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\right] e^{x} d x \\ &=\int\left[\frac{1}{1+x}+\left(\frac{1}{1+x}\right)^{\prime}\right] e^{x} d x=\frac{e^{x}}{1+x}+C \end{aligned} ∫(1+x)2xexdx=∫[1+x1−(1+x)21]exdx=∫[1+x1+(1+x1)′]exdx=1+xex+C
- 例3.2： ∫ e 2 x ( tan x + 1 ) 2 d x \int e^{2 x}(\tan x+1)^{2} d x ∫e2x(tanx+1)2dx
解：
∫ e 2 x ( tan x + 1 ) 2 d x = ∫ e 2 x ( sec 2 x + 2 tan x ) d x = ∫ [ e 2 x ( tan x ) ′ + ( e 2 x ) ′ tan x ] d x = e 2 x tan x + C \begin{aligned} \int e^{2 x}(\tan x+1)^{2} d x &=\int e^{2 x}\left(\sec ^{2} x+2 \tan x\right) d x \\ &=\int\left[e^{2 x}(\tan x)^{\prime}+\left(e^{2 x}\right)^{\prime} \tan x\right] d x \\ &=e^{2 x} \tan x+C \end{aligned} ∫e2x(tanx+1)2dx=∫e2x(sec2x+2tanx)dx=∫[e2x(tanx)′+(e2x)′tanx]dx=e2xtanx+C
例3.2 说明公式 ( ∗ ) (*) (∗)可有以下更广泛的推广：
∫ [ α f ( x ) + f ′ ( x ) ] e α x d x = ∫ [ e α x f ( x ) ] ′ d x = e α x f ( x ) + C ( ∗ ∗ ) \int\left[\alpha f(x)+f^{\prime}(x)\right] e^{\alpha x} d x=\int\left[e^{\alpha x} f(x)\right]^{\prime} d x=e^{\alpha x} f(x)+C \ (**) ∫[αf(x)+f′(x)]eαxdx=∫[eαxf(x)]′dx=eαxf(x)+C (∗∗)
对于这种情况，主要是拆分和指数函数相乘的那个函数，将被积函数中除去指数函数的部分，拆成某可导函数及其导函数之和的形式，然后利用公式 ( ∗ ∗ ) (**) (∗∗)，即可进行较为方便的不定积分的求解。
综述
综合以上三种情况，可以将含指数函数的不定积分的三种形式归纳如下：
- 首先，当被积函数为指数函数的复合函数时，可考虑凑微分法；
- 其次，当被积函数为指数函数和其它初等函数的乘积时，可考虑采用分部积分法，通过分部积分公式进行求解；
- 最后，当被积函数为指数函数和某可导函数及其导函数之和的乘积时，可考虑公式 ( ∗ ) (*) (∗)和 ( ∗ ∗ ) (**) (∗∗)，采用这种有一定技巧的积分方法。
补充
形如
∫ 0 + ∞ x α e − β x d x \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha}e^{-\beta x} d x ∫0+∞xαe−βxdx
的定积分有更加简便的方法。仔细观察可以发现，被积函数为 Γ \Gamma Γ分布的核函数。可能有读者不了解 Γ \Gamma Γ分布，我在这里简单讲解一下。
对 X X X~ Γ ( α , β ) \Gamma(\alpha,\beta) Γ(α,β)，其概率密度函数为：
f ( x , α , β ) = β α Γ ( α ) ⋅ x α − 1 ⋅ e − β x , x > 0 f(x,\alpha,\beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\cdot x^{\alpha-1} \cdot e^{-\beta x},x>0 f(x,α,β)=Γ(α)βα⋅xα−1⋅e−βx,x>0
Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x)为伽马函数。需要注意的是，随机变量 X X X的定义域为 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞)，因此只有积分区间为 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞)的积分才可以使用该简便方法。
了解了 Γ \Gamma Γ分布，现在开始算积分：
∫ 0 + ∞ x α e − β x d x = Γ ( α + 1 ) β α + 1 ∫ 0 + ∞ β α + 1 Γ ( α + 1 ) ⋅ x α e − β x d x = Γ ( α + 1 ) β α + 1 \begin{aligned} \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha}e^{-\beta x} d x &=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\beta^{\alpha+1}} \int_{0}^{+\infty}\frac{\beta^{\alpha+1}}{ \Gamma(\alpha+1)} \cdot x^{\alpha}e^{-\beta x} d x =\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\beta^{\alpha+1}} \end{aligned} ∫0+∞xαe−βxdx=βα+1Γ(α+1)∫0+∞Γ(α+1)βα+1⋅xαe−βxdx=βα+1Γ(α+1)
如果熟练的话其实直接就可以得到积分为 Γ \Gamma Γ分布的系数的倒数。