《计算机组成原理》第六章：计算机的运算方法【知识点总结】

1.无符号数和有符号数

在计算机中参与运算的数有两大类：无符号数、有符号数

1.1 无符号数

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1.2 有符号数

1.机器数与真值
对于有符号数而言，在计算机中用0->正，1->负，相当于符号被数字化了，并规定放在有效数字的前面，即组成了有符号数。
例如，有符号数的小数表示：

有符号数的整数表示：

把符号数字化的数称为机器数，而把带"+","-"符号的数称为真值，一旦符号数字化后，符号的数值就形成了一种新的编码。

在运算过程中，
符号位能否和数值部分一起参加运算？
如果参加运算，符号位又需作哪些处理？
这些问题都与符号位和数值位所构成的编码有关，这些编码就是原码、反码、补码、移码。

• 原码表示法
  原码表示法又称为带符号的绝对值表示，规定整数的符号位与数值之间用逗号隔开，小数的符号位与数值位之间用小数点隔开。
  例如：
  +0.1011 原码:0.1011
  -0.1011 原码:1.1011
  +1100 原码:0,1100
  -1100 原码:1,1100

整数原码的定义为：

小数原码的定义为：

• 补数表示法
  
  
  
  补码的定义：
  
  
  
  

• 反码表示法
  
  

• 移码表示法
  
  
  
  

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2. 数的定点表示和浮点表示

在计算机中，小数点不用专门的器件表示，而是按照约定的方式给出，有两种表示方法表示小数点的存在，即定点表示和浮点表示。
定点表示的数称为定点数，浮点表示的数称为浮点数。

2.1 定点表示

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2.2 浮点表示

实际上计算机中处理的数不一定是纯小数or纯整数，而且有些数据的数值范围相差很大，它们都不能直接用定点小数or定点整数表示，但是均可以用浮点数表示。
浮点数即小数点的位置可以浮动的数
比如:
352.47 = 3.5247 x 10²
= 3524.7 x 10^-1
= 0.35247 x 10³
显然，这里的小数点的位置是变化的，但因为分别乘上了不同的10的方幂，故值不变。
通常，浮点数被表示成：
N = S x r^j
其中S为尾数(可正可负)，j为阶码(可正可负)，r是基数(也叫基值)。在计算机中基数可以取2、4、8、16等等。
以基数r=2为例，数N可以写成下列不同的形式：
N = 11.0101
= 0.110101 x 2¹⁰
= 1.10101 x 2¹
= 1101.01 x 2^-10
= 0.00110101 x 2¹⁰⁰
…
为了提高数据精度以及便于浮点数的比较，在计算机中规定浮点数的尾数用纯小数形式，故上例中0.110101 x 2¹⁰和0.00110101 x 2¹⁰⁰形式是可以采用的。
此外将尾数最高位为1的浮点数称为规格化数，即N=0.110101 x 2¹⁰为浮点数的规格化形式。
浮点数表示成规格化形式后，其精度最高。

• 浮点数的表示形式
  浮点数在机器中的形式如下所示，采用这种数据格式的机器称为浮点机。
  
  浮点数由阶码j和尾数S两部分组成，阶码是整数，阶符和阶码的位数m合起来反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置，尾数是小数，其位数n反映了浮点数的精度，尾数的符号S_t代表浮点数的正负。

• 浮点数的表示范围
  以通式**N= S x r^j**为例，设浮点数阶码的数值位取m位，尾数的数值位取n位，当浮点数为非格式化数时，它在数轴上的表示范围如下面图所示：
  

• 浮点数的规格化
  为了提高浮点数的精度，其尾数必须为格式化数，如果不是格式化数，就要通过修改阶码并同时左右移尾数的办法，使其变成规格化数，将非规格化数转换成规格化数的过程称为规格化。
  对于基数不同的浮点数，因其规格化数的形式不同，规格化的过程也不同。

**当基数为2时，尾数最高位为1的数为规格化数。**规格化时，尾数左移一位，阶码-1 (这叫做向左规格化—左规)，尾数右移一位，阶码+1(这叫做为向右规格化—右规)。
当基数为4时，尾数的最高两位不全为0的数为规格化数。规格化时，尾数左移两位，阶码-1(左规)，尾数右移两位，阶码+1(右规)。
当基数为8时，尾数的最高三位不全为0的数为规格化数。规格化时，尾数左移三位，阶码-1(左规)，尾数右移三位，阶码+1(右规)。
同理可以推的基数为2ⁿ的任何数的规格化过程。

浮点机中一旦基数确定后就不再变了，而且基数都是隐含的，故不同基数的浮点数表示形式完全相同。但基数不同，对数的表示范围和精度等都有影响。一般来说，基数r越大，可表示的浮点数范围越大，而且所表示的数的个数越多，但r越大，浮点数的精度反而下降。如r=16的浮点数，因其规格化数的尾数最高三位可能出现0，故与其尾数位数相同的r=2的浮点数相比，后者可能比前者多三位精度。

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2.3 定点数和浮点数的比较

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2.4 举列

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2.5 IEEE 754标准

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3.定点运算

定点运算包括移位、加、减、乘、除几种。

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3.1 移位运算

• 移位运算的意义
  
• 算术移位规则
  
  
  
  
  
  

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3.2 加法与减法运算

+ 溢出判断
判断补码定点加减运算溢出的方法有两种：

• 3.补码定点加减法所需的硬件配置
  
  
  
  

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3.3 乘法运算【待理解】

在计算机中，乘法运算是一种很重要的运算，有的机器由硬件乘法器直接完成乘法运算，有的机器内没有乘法器，但可以按照机器做乘法运算的方法，用软件编程实现。因此学习乘法运算方法不仅有助于乘法器的设计，有有助于乘法编程。
先分析一下笔算乘法，然后介绍机器中几种乘法运算方法。

• 1.分析笔算乘法
  

• 2.笔算乘法的改进
  
  
  
  计算机很容易实现这种运算规则。用一个寄存器存放被乘数，一个寄存器存放乘积的高位，另一个寄存器存放乘数及乘积的低位，再配上加法器及其他相应电路，就可以组成乘法器。又因为加法只在部分积的高位进行，故不但节省了器材，而且还缩短了运算时间。

• 3.原码乘法
  由于原码表示与真值相似，只相差一个符号，而乘积的符号又可以通过两数符号的逻辑异或求得，因此，上述讨论的结果可以直接用于原码一位乘，只需加上符号位处理即可。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 4.补码乘法
  
  
  
  
  
  【这玩意太难了，2333，有必要(考研)再去看】

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3.4 除法运算【待完成】

【和乘法运算一样，都有点难】

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4.浮点四则运算【待理解】

从第二节对浮点数的讨论可知，机器中任何一个浮点数都可以写成如下形式：
x = S_x * r^jx
其中，S_x为浮点数的尾数，一般绝对值小于1的规格化数(补码表示时允许为-1)，机器中可用原码或补码表示，jx为浮点数的阶码，一般为整数，机器中大多用补码或移码表示，r为浮点数的基数，常用2、4、8或16表示，下面对浮点数四则运算都是以基数为2来进行讨论。

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4.1 浮点加减运算

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4.2 浮点乘除法运算

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4.3 浮点运算所需的硬件配置

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5. 算术逻辑单元【待理解】

针对每一种算术运算，都必须有一个相对应的基本硬件配置，其核心部件是加法器和寄存器。当需要完成逻辑运算时，势必需要配置相应的逻辑电路，而ALU电路是既能完成算术运算又能完成逻辑运算的部件。

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5.1 ALU单元

下图是ALU框图，图中的A_i和B_i为输入遍历，k_i为控制信号，k_i的不同取值可决定该电路作哪一种算术运算或哪一种逻辑运算，F_i为输出函数，会输出运算的结果。

现在ALU电路已制成集成电路芯片，例如，74181是能完成4位二进制代码的算逻运算部件，外特性如下图所示：

74181有两种工作方式，即正逻辑和负逻辑，分别如图6.17(a)和(b)所示，下面的表列出了算术/逻辑运算功能，逻辑电路也在下面：

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5.2 快速进位链

随着操作数位数的增加，电路中进位的速度对运算时间的影响也越来越大，为了提高运算速度，本节将通过对进位过程的分析设计快速进位链。

• 1.并行加法器
  并行加法器由若干个全加器组成，如下图，n+1个全加器级联就组成了一个n+1位的并行加法器。
  
  
• 2.串行进位链
  
• 3.并行进位链