Ford-Fulkerson算法——最大流、最小割问题
流网络
网络流G=(v, E)是一个有向图，其中每条边(u, v)均有一个非负的容量值，记为c(u, v) ≧ 0。如果(u, v) ∉ E则可以规定c(u, v) = 0。网络流中有两个特殊的顶点，即源点s和汇点t。
流的定义
与网络流相关的一个概念是流。设G是一个流网络，其容量为c。设s为网络的源点(source)，t为汇点(sink)，那么G的流是一个函数f：V×V →R，满足以下性质：
- 容量限制： 对每条边e ∈ E ：0<=f(e)<=c(e)
- 流守恒性：对每个顶点v ∈ V-{s,t}:
定义：流的值为：
如图：
最大流问题
就是在容量容许的条件下，从源点到汇点所能通过的最大流量
在这之前，先看几个定义。
增广路径
定义：增广路径是找出在残留网络中从源点到汇点的有向路径。增广路径的残留容量是路径中任意边所形成的最小残留容量。显然，我们可以沿着增广路径从源点到汇点发送额外的流。
左图是贪心算法求出的一条路径，右图是在此基础上找增广路径，红色虚线部分为增广路径
通过寻找增广路径，我们可以迭代的增加流的值
如何寻找增广路径？
在残量图中找
残量图
定义：
- 原边：e=(u,v)∈E，有流 f(e),容量 c(e)
残量边：
- 前向边：e=(u,v)∈E，当f(e)
- 反向边：
，当f(e)>0- 残量容量:
- 反向边：
残量图：
- 残量边有正的残余容量
Ford-Fulkerson算法伪代码
bottleneck是一条路径中最小的那个容量
构造残量图不用真的构造，有trick（俺也不知道，等俺想到了补上）
Augment(f,c,P)
b=bottleneck(P)
for each e ∈ P
if (e∈E) f(e)=f(e)+b
else f(eR)=f(e)-b
return f
Ford-Fulkerson(G,c,s,t)
{
for each e∈E f(e)=0
Gf= residual graph
while(there exists augmenting path P in Gf)
f=Augment(f,c,P)
update Gf
return f
}
证明算法正确性
算法中while循环是否会终止
- 假定：所有的容量都是整数
- 声明1：f是G中的一个流，P是
(残量图)中s到t的一条简单路径。则
v(f')=v(f)+bottleneck(P,f)
并且只要bottleneck(P,f)>0,则有v(f')>v(f)
- 声明2：Ford-Fulkerson算法的while循环最多终止在
，即s输出的容量和，不可能更大，但可能更小
实数可以作为容量吗？
在实际应用中，容量一般是整数和有理数。如果容量带小数，可能会遇到循环多次，每次流只增加一点点，循环很难结束的情况
证明算出来的最大流是正确的
引入割的概念
割（cuts）
定义：是网络中顶点的一个划分，把所有顶点划分成两个顶点集合A和B，其中源点s属于A，汇点t属于B，记作(A,B)
割的容量的定义：所有正向割边的容量和，不同割的容量不同，即
图中即为一个割
最小割问题
即为求一个最小容量的割
证明求最小割和求最大流是一样的
流值引理（Flow value lemma）
设f是任意s到t的流，(A,B)是任意s到t的割，则经过割的净流量等于s输出的流量
如图，三个割的净流量都是等于s输出的流量24
证明：
弱对偶性（Weak duality）
设f是任意s到t的流，(A,B)是任意s到t的割，则流的最大值最多能到割的容量，即v(f)<=cap(A,B)
证明：
最佳选择证明
推论：设f是任意s到t的流，(A,B)是任意s到t的割，如果v(f)=cap(A,B),则f是最大流，(A,B)是最小割
最大流最小割定理
最大流的值等于最小割的值
增广路径定理
f是s到t的最大流当且仅当没有增广路径时
证明策略：这三个性质可以相互推导
（1）存在一个割(A,B)满足v(f)=cap(A,B)
（2）流f是最大流
（3）没有与f有关的增广路径
（1）推导（2）：弱对偶性的推论（不懂……）
（2）推导（3）：反证法：如果f存在增广路径，则f还可以增长，则f不是最大流
（3）推导（1）：
构造性证明，对条件（3），求出割(A,B)满足v(f)=cap(A,B)
设流f没有增广路径
设A是残量图
进入A的边f(e)=0，从A出来的边的f(e)等于c(e)
反推：
如果一条边进入A且f(e)不为0，那么这条边的起点应该在A里
如果一条边从A出来且f(e)不等于c(e),那么这条边的终点也在A里（俺也没明白，到底啥意思啊……）
如何求最小割
-
那么如何来求出最小割的其中一种方案呢，我们在进行最大流计算完成之后，从原点进行遍历整张图，将遍历到的点标记为
true；最终结束之后，所有标记为true的点和没有标记的点之间就是一个割边。 -
那么为什么求出来的就是割边呢，因为最大流之后，所有通路在满流的那条通道处断掉了，也就是没有办法继续走下去，而这条通道一边标记为了
true另一边没有被标记，那么他们之间就是一个割边了。
时间复杂度
- 完整性定理：如果所有的容量都是整数，那么最大流也是整数
证明很简单，因为每次求路径p的瓶颈肯定是整数，求残量图的容量也是整数，再求增广路径上的容量也还是整数，所以最大流一定是整数
- Ford-Fulkerson算法的时间复杂度取决于增广路径如何决定
- 如果所有的容量都是整数，有一个Ford-Fulkerson算法的直接实现的时间复杂度O(|E||f*|),其中f*由算法决定
- 如果我们用BFS实现增广路径算法，如果增广路径是残量图中s到t的最短路径，其中每条边具有单位距离（权重），则算法是时间复杂度为O(|V||E|^2) （不懂……甚至不知道翻译对没Orz）