面试题16. 数值的整数次方

题目： 实现函数double Power(double base, int exponent)，求base的exponent次方。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。
示例：
示例 1:

输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000

示例 2:

输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100

示例 3:

输入: 2.00000, -2
输出: 0.25000
解释: 2^-2 = 1/2^2 = 1/4 = 0.25

说明:

一、暴力法，时间超过限制

这个是我们最容易想到的办法，一次for循环就可以解决，但是时间复杂度O(N)超出限制，不能通过题解，代码如下：

double myPow1(double x, int n) 
{
	if(x==1 || n==0)
		return 1;
	double sum=1;
	int flag=0;
	if(n<0)
	{
		flag=1;
		n*=-1;
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		sum*=x;
	}
	if(flag)
	{
		return 1/sum;
	}
	return sum;
}

0(N)时间复杂度超出限制，那么正确题解的时间复杂度一定是O(logN)，我们想办法往这个时间复杂度上靠近，很容易想到二分，分为2部分进行相乘，那样可以将乘的次数减少一半，这就是基于二分的快速幂。

二、快速幂

假如我们需要求解3⁶，那么可以分解为：(3²)³→(9³)→(9²)*9=81*9=729。每次底数以x²进行递增，指数以num/2变化，分为奇数和偶数情况。那么我们可以总结出一个规律：

因为奇数情况，用除法和偶数的结果一样，如3/2=1，2/2=1，所以不用n-1。我们可以看到这是一种二分的形式，即将n进行二分，求x⁴=x²*x²，而不是x⁴=x*x*x*x。如果是奇数的话就会多出来一项，所以我们用res保存结果时，当n为奇数，就将x乘入res，再进行x²，最后n==1时，x已经不断x²累乘计算完毕，此时n为奇数，将x乘入res，得出结果，n/2=0循环结束。
我们可以根据上述的思路进行一个示例演示，假如现在计算5⁵，我们进行过程演示：

n幂值（初始值5）	奇偶（奇数）	res（1）	x（5）
n=5	奇数	1*5=5	5^5=25
n=5/2=2	偶数	5	25*25=625
n=2/2=1	奇数	5*625=3125	625*625=390625
n=1/2=0	退出循环，返回res=3125

计算机验证结果正确，那么我们可以总结思路，需要考虑到负数等情况:

• 如果x=1，或者n=0，那么直接返回1即可。
• 如果n为负数，需要求x的倒数平方，那么x=1/x；n=-n；如果n用int保存，int有符号整形变量的范围是[-2147483648 2147483647]；当-2147483648取绝对值时大于2147483647就会报错出现溢出，所以先对负数进行强制类型转换，用long存储即可。
• 进行while循环，直到n==0时退出。
• 循环体内，进行奇数偶数判断，奇数：res*=x；
• 进行x*=x累加，n/=2不断二分缩小。
• 循环结束返回res即可

（一）常规解法

我们可以根据思路写出代码：

//2.快速幂运算，不引入位运算，3^3=3^2*3^1,所以我们可以不断计算x的平方，分为奇数，偶数两种情况
double myPow2(double x, int n) 
{
	if(x==1 || n==0)
		return 1;
	long num=n;//int会溢出，所以用long存储因为有符号整形变量的范围是-2147483648    2147483647；当-2147483648取绝对值时大于2147483647就会报错，所以先对负数进行强制类型转换。
	double res=1;
	if(n<0)
	{
		num=-num;
		x=1/x;
	}
	while(num!=0)
	{
		if(num%2==1)//奇数
		{
			res*=x;
		}
		x*=x;
		num/=2;
	}
	return res;
}

（二）借助位运算

我们可以借助位运算来优化代码，降低时间复杂度，我们用到了

num%2==1;//判断奇数偶数
num/=2；//二分

可以用位运算来表示这两句，所有奇数的二进制，0号位置一定是1，所以可以

（num & 1）==1；//加括号表明执行优先级

来判断奇数偶数，如果0号位置为1，返回真，进行res*=x；否则不进入if判断体中。
左移1位表示增大一倍数值，右移1位表示缩小一倍数值，所以，我们可以用>>表示除2运算符：

num>>=1；

那么优化后的代码为：

double myPow(double x, int n) 
{
	if(x==1 || n==0)
		return 1;
	long num=n;
	double res=1;
	if(n<0)
	{
		num=-num;
		x=1/x;
	}
	while(num!=0)
	{
		if((num&1)==1)//奇数，与运算可以判断奇数，奇数它一定在0位上有1
		{
			res*=x;
		}
		x*=x;
		num=num>>1;//右移就是/2的含义
	}
	return res;
}

加油哦！。