分治算法的复杂度分析

前言
这是啥？you see see you,one day day?
说起复杂度，我其实现在还不是很会计算时间复杂度，纠结于对算法的实现过程可能有一定的不清楚。但是尽力尝试就行,学习的时候有借鉴《趣学算法》，觉得这本书很不错。
附上常用的计算公式：
n * O( 1 ) = O( n );
c * O( n ) = O( n ); 【常数系数直接省略】
O( cm ) + O( cn ) = O( cm ); 【常数相加取最大项】
O( m ) * O( n ) = O( m * n);

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分治算法，就是把一个大的问题分为很多个形式相同的子问题，把问题规模缩小。假使，最初的问题规模是N,这些小的子问题的个数为a，子问题的规模是n / b，分解或者合并的复杂度表示为f( n ),那么总的时间复杂度就可以表示为

这可以算作计算的通用公式了。

很明显，这是一个递推的表达式，我们在数学中计算可得：
为了便于计算，赋初值，子问题规模为 b / 2:

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分治递归树

从图中我们可知：
时间复杂度 = 叶子数 *T(1)+成本和 = 2^xT(1) +xO(n);
同样的有n = 2^x,则x = log n,那么代入计算可得时间复杂度等于O(nlogn).

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大师解法



最后一层的成本约等于

既然最后一层的成本约等于叶子数，那么叶子数*T(1)就可以省略了，即时间复杂度等于成本和。，因为他们相当于一个常数倍的关系。
根据以上的图我们发现，从上到下一层，每一层之间的时间成本具有一个a/b^d的关系，且很明显如果这个公比是小于一的，呈递减的趋势，那么我们可以计算出每一层的成本，直接略估计小于等于O(n^d),即第一层的成本；但是，如果公比大于一，那么时间复杂度就可以用最后一层的成本表示

除了以上两种可能，还有相等的这一种情况，那么直接利用第一层的成本乘以树的高度即可：

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其他的也都可以采用这种做树的方式计算，再讨论公比即可。